Um objeto cujo vetor posição é dado por alpha(t)=(x(t), y(t)) se move ao longo da parábola y=x^2-4. Sabe-se que a componente horizontal do vetor aceleração em cada instante t é igual a-4 e que no instante t=0 o objeto se encontra no ponto alpha(0)=(0,-4) com vetor velocidade a(0)=(4,0). Pede-se
c) Em que instante o objeto se encontra no ponto (2,0) ?

Passo 1

O enunciado diz que o objeto se move em y=x²−4, começa em α(0)=(0,−4) com v(0)=(4,0) e que a componente horizontal da aceleração é constante −4. Precisamos achar t tal que α(t)=(2,0). Vamos usar cinemática unidimensional em x e depois impor y=x²−4.

Passo 2

Como aceleração é derivada da velocidade, temos x’’(t)=a_x(t)=−4. Integrando para obter a velocidade:
x'(t)=integral x''(t),dt=integral(-4),dt=-4t+C1 Pela condição inicial x’(0)=4 segue C_1=4. Logo:
x'(t)=4-4t

Passo 3

Agora integramos para achar x(t):
x(t)=integral(4-4t),dt=4t-2t^2+C2 Usando x(0)=0 obtemos C_2=0 e portanto
x(t)=4t-2t^2

Passo 4

Para chegar em (2,0) precisamos de x(t)=2 (pois então y=2²−4=0 satisfaz y). Resolvendo:
4t-2t^2=2
2t^2-4t+2=0
t^2-2t+1=0
(t-1)^2=0 Daí t=1 é o instante procurado.

Resposta

1

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