Um objeto cujo vetor posição é dado por alpha(t)=(x(t), y(t)) se move ao longo da parábola y=x^2-4. Sabe-se que a componente horizontal do vetor aceleração em cada instante t é igual a-4 e que no instante t=0 o objeto se encontra no ponto alpha(0)=(0,-4) com vetor velocidade a(0)=(4,0). Pede-se
b) Encontre uma parametrização da trajetoria da curva;

Passo 1

O exercício pede para encontrar a parametrização temporal da trajetória de um objeto que se move sobre a parábola y = x^2 - 4, sabendo que a componente horizontal da aceleração é constante e igual a a - 4, e que em t=0 temos alpha(0)=(0,-4) e v(0)=(4,0). Vamos usar conceitos de cinemática unidimensional para a coordenada x(t) e depois recuperar y(t) pela equação da curva.

Passo 2

A componente horizontal da aceleração é ax = x''(t) = a - 4, constante. Em cinemática unidimensional, integrar essa aceleração em relação ao tempo nos dá a velocidade horizontal.
Integrando x''(t) = a - 4 em t:
vx(t) = x'(t) = (a - 4),t + C1
Usamos a condição inicial vx(0)=4 para achar C1:
4 = vx(0) = C1 implies C1 = 4
Portanto
vx(t) = (a - 4),t + 4

Passo 3

Agora integramos vx(t) para obter x(t):
x(t) = integrall[(a - 4),t + 4r]dt = a - 42,t^2 + 4t + C2
Usamos x(0)=0 para achar C2:
0 = x(0) = C2 implies C2 = 0
Logo
x(t) = a - 42,t^2 + 4t

Passo 4

Para obter y(t), basta usar a equação da parábola y = x^2 - 4. Substituindo x(t) temos
y(t) = gl(a - 42,t^2 + 4tgr)^2 - 4
Assim obtemos a parametrização completa da trajetória em função do tempo.

Resposta

alpha(t)=l(a-42,t^2+4t,;l(a-42,t^2+4tr)^2-4r).

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