Exercs. 17-20: Use o Teotema (11.15) para achar todos os valores de x para os quais a série é convergente e ache a soma da série.
18 1+x^2+x^4+ldots+x^2 n+ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou o exercício 18, que é uma série infinita: 1 + x^2 + x^4 + ldots + x^2n + ldots. O objetivo aqui é usar o Teorema 11.15 para encontrar todos os valores de x que fazem essa série convergir e também descobrir a soma dessa série. Basicamente, estamos lidando com uma série geométrica, então vamos precisar lembrar como essas funcionam e quais são as condições para elas convergirem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a estrutura da série. Observe que os termos são 1, x^2, x^4, ldots, x^2n, ldots. Podemos reescrever isso como:
sumn=0^infty x^2n
Isso mostra que cada termo é x^2 elevado a n, o que caracteriza uma série geométrica.

Passo 3

Agora, lembrando que uma série geométrica tem a forma geral:
sumn=0^infty ar^n
Onde:
  • a é o primeiro termo,
  • r é a razão comum entre os termos.
No nosso caso:
  • a = 1,
  • r = x^2.

Passo 4

Para que uma série geométrica convirja, a razão r deve satisfazer:
|r| < 1
Aplicando isso à nossa série:
|x^2| < 1
Como x^2 é sempre não negativo, podemos simplificar para:
x^2 < 1
Isso implica que:
-1 < x < 1
Então, a série converge para todos os valores de x entre -1 e 1.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a soma da série quando ela converge. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
S = a1 - r
Substituindo os valores que temos:
S = 11 - x^2

Resposta

A série 1 + x^2 + x^4 + ldots + x^2n + ldots converge para todos os valores de x tais que -1 < x < 1, e a soma da série é dada por:
S = 11 - x^2

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