Exercs. 17-20: Use o Teotema (11.15) para achar todos os valores de
para os quais a série é convergente e ache a soma da série.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou o exercício 18, que é uma série infinita:
. O objetivo aqui é usar o Teorema 11.15 para encontrar todos os valores de
que fazem essa série convergir e também descobrir a soma dessa série. Basicamente, estamos lidando com uma série geométrica, então vamos precisar lembrar como essas funcionam e quais são as condições para elas convergirem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a estrutura da série. Observe que os termos são
. Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que cada termo é
elevado a
, o que caracteriza uma série geométrica.
Passo 3
Agora, lembrando que uma série geométrica tem a forma geral:
Onde:
-
é o primeiro termo, -
é a razão comum entre os termos.
No nosso caso:
-
, -
.
Passo 4
Para que uma série geométrica convirja, a razão
deve satisfazer:
Aplicando isso à nossa série:
Como
é sempre não negativo, podemos simplificar para:
Isso implica que:
Então, a série converge para todos os valores de
entre
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a soma da série quando ela converge. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
Substituindo os valores que temos:
Resposta
A série
converge para todos os valores de
tais que
, e a soma da série é dada por: