Questão 2. Calcule os limites abaixo, justificando todos os passos.
(10 pontos) lim x -infty x^2 e^2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de $ x^{2} e^{2x} $ quando $ x $ tende a menos infinito. Isso envolve o estudo de limites em funções que combinam polinômios e exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta quando $ x $ vai pra menos infinito e usar algumas regras de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente. O termo $ x^{2} $ é um polinômio que, quando $ x $ vai pra menos infinito, cresce sem parar em valor positivo, ou seja, tende a $ +\infty $. Já o termo $ e^{2x} $ é uma função exponencial. Quando $ x $ vai pra menos infinito, $ 2x $ também vai pra menos infinito, então $ e^{2x} $ tende a 0.

Passo 3

Agora, temos uma situação onde $ x^{2} $ tende a $ +\infty $ e $ e^{2x} $ tende a 0. Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo $ \infty \times 0 $, que a gente precisa resolver para descobrir qual é o comportamento final da função.

Passo 4

Para resolver essa indeterminação, a gente pode reescrever a expressão de uma forma que facilite a aplicação de regras de limites, como a regra de L’Hôpital. Vamos reescrever $ x^{2} e^{2x} $ como $ \frac{x{2}}{e{-2x}} $. Assim, transformamos a expressão em uma forma $ \frac{\infty}{\infty} $, que é apropriada para aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 5

A regra de L’Hôpital diz que se temos um limite do tipo $ \frac{\infty}{\infty} $, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas. Vamos aplicar isso:
Primeira derivada:
  • Derivada do numerador $ x^{2} $ é $ 2x $.
  • Derivada do denominador $ e^{-2x} $ é $ -2e^{-2x} $.
Então, o limite passa a ser:
inftyinfty

Passo 6

Ainda temos uma forma $ \frac{\infty}{\infty} $, então aplicamos a regra de L’Hôpital novamente.
Segunda derivada:
  • Derivada do numerador $ -x $ é $ -1 $.
  • Derivada do denominador $ e^{-2x} $ é $ -2e^{-2x} $.
Agora, o limite fica:
inftyinfty

Passo 7

Agora, observamos que $ e^{-2x} $ quando $ x $ vai para menos infinito, $ -2x $ vai para $ +\infty $, então $ e^{-2x} $ tende a $ +\infty $. Assim, o denominador $ 2e^{-2x} $ também tende a $ +\infty $, fazendo com que o quociente inteiro tende a 0.

Resposta

Portanto, o limite é $ 0 $.

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