Considere a seguinte equação linear de primeira ordem
y^prime+p(t) y=g(t)
Se g(t) não é identicamente nula, suponha que a solução da equação (1) é da forma
y=A(t) exp [-integral p(t) d t]
Mostre que a função A(t) deve satisfazer a condição
A^prime(t)=g(t) exp [integral p(t) d t]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada a equação linear de primeira ordem y'+p(t)y=g(t) e supondo que a solução tenha o formato y=A(t)expl[-integral p(t),dtr], a função A(t) deve satisfazer uma equação simples. Vamos usar a regra do produto e a cadeia para diferenciar y e depois substituir de volta na ODE.

Passo 2

Começamos escrevendo a expressão proposta para y:
y = A(t)expl[-integral p(t),dtr]
Para encontrar y', aplicamos a regra do produto a A(t) e expl[-integral p(t)dtr], lembrando que a derivada de exp[u(t)] é u'(t)exp[u(t)].

Passo 3

Ao derivar, obtemos:
y' = A'(t)expl[-integral p(t)dtr] , + , A(t)ddtl(expl[-integral p(t)dtr]r)
Pela cadeia,
ddtl(expl[-integral p(t)dtr]r) = -p(t)expl[-integral p(t)dtr],
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y' = A'(t)expl[-integral p(t)dtr] - A(t)p(t)expl[-integral p(t)dtr]

Passo 4

Agora substituímos y e y' na equação original:
y' + p(t)y = l[A'(t)expl[-integral p(t)dtr] - A(t)p(t)expl[-integral p(t)dtr]r] + p(t)l[A(t)expl[-integral p(t)dtr]r]
Note que os termos com A(t)p(t)exp[-integral p] se cancelam, sobrando
y' + p(t)y = A'(t)expl[-integral p(t)dtr]

Passo 5

Como pela equação dada y'+p(t)y=g(t), concluímos
A'(t)expl[-integral p(t)dtr] = g(t)
Multiplicando os dois lados por expl[integral p(t)dtr], obtemos
A'(t) = g(t)expl[integral p(t)dtr]

Passo 6

Assim mostramos exatamente a condição exigida para A(t).

Resposta

A’(t)=g(t)\exp\bigl[\int p(t),dt\bigr]

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