Considere a seguinte equação linear de primeira ordem
Se
não é identicamente nula, suponha que a solução da equação (1) é da forma
Mostre que a função
deve satisfazer a condição
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dada a equação linear de primeira ordem
e supondo que a solução tenha o formato
, a função
deve satisfazer uma equação simples. Vamos usar a regra do produto e a cadeia para diferenciar
e depois substituir de volta na ODE.
Passo 2
Começamos escrevendo a expressão proposta para
:
Para encontrar
, aplicamos a regra do produto a
e
, lembrando que a derivada de
é
.
Passo 3
Ao derivar, obtemos:
Pela cadeia,
logo
Passo 4
Agora substituímos
e
na equação original:
Note que os termos com
se cancelam, sobrando
Passo 5
Como pela equação dada
, concluímos
Multiplicando os dois lados por
, obtemos
Passo 6
Assim mostramos exatamente a condição exigida para
.
Resposta
A’(t)=g(t)\exp\bigl[\int p(t),dt\bigr]