Exercs. 17-42: Determine se a seqüência converge ou diverge; se convergir, ache o limite.
${

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a sequência an=n^2ln(n+1). O conteúdo aqui é limites de sequências e precisamos analisar o comportamento quando ntoinfty.

Passo 2

Para entender o crescimento, lembre que funções polinomiais crescem muito mais rápido que logaritmos. Ou seja, à medida que n aumenta, n^2 aumenta muito mais depressa que ln(n+1), o que sugere que a razão n^2/ln(n+1) tende a crescer sem limite.
Para comprovar isso rigorosamente, estendemos an para a função contínua f(x)=x^2ln(x+1) e aplicamos a regra de L’Hôpital na forma indeterminada inftyinfty. Derivando numerador e denominador,
limxtoinftyf(x)=limxtoinfty2x1/(x+1)=limxtoinfty2x(x+1)=+infty,
o que mostra que an também diverge para o infinito.

Resposta

A sequência diverge, pois limntoinftyn^2ln(n+1)=+infty.

Exercícios relacionados