Exercs. 17-42: Determine se a seqüência converge ou diverge; se convergir, ache o limite.
e^-n ln n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência an = e^-nln n, que é um exercício de limites de sequências, e descobrir se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, qual é o seu limite. Vamos usar o teste da razão e o fato de que a função exponencial cresce muito mais rápido que o logaritmo.

Passo 2

Reescrevendo an de forma mais clara:
an = e^-nln n = ln ne^n

Passo 3

Aplicando o teste da razão para sequências, calculamos
an+1an = ln(n+1)e^n+1 cdot e^nln n = ln(n+1)ln n cdot e^-1

Passo 4

Observamos que limntoinfty ln(n+1)ln n = 1, logo
limntoinfty an+1an = e^-1 < 1

Passo 5

Pela propriedade do teste da razão, se o limite da razão entre termos for um número menor que 1, então an converge para zero.

Resposta

A sequência converge e limntoinfty e^-nln n = 0.

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