Questão C.1: (1.5 pontos) O carro A está indo para o oeste a 50 Km / h e o carro B está indo para norte a 60 Km / h. Ambos estão dirigindo para a interseção de duas ruas. A que taxa os carros estão se aproximando um do outro quando o carro A está a 0,3 Km e o carro B está a 0,4 Km da interseção?

Passo 1

A questão diz que o carro A está a 50 km/h indo para o oeste e o carro B a 60 km/h para o norte, ambos se aproximando da mesma interseção. Precisamos encontrar a taxa de variação da distância entre eles quando x=0,3 km (distância de A) e y=0,4 km (distância de B). Vamos usar derivadas e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Definimos x(t) como a distância do carro A à interseção, y(t) a distância do carro B e d(t) a distância entre os carros. Pelo Teorema de Pitágoras, temos
d^2 = x^2 + y^2

Passo 3

Diferenciando implicitamente em relação ao tempo t e usando a regra da cadeia, obtemos
2ddddt = 2xdxdt + 2ydydt
Cancelando o 2, isolamos dddt:
dddt = xdxdt + ydydtd

Passo 4

Sabemos que x=0.3, dxdt=-50 (pois x diminui a 50 km/h), y=0.4, dydt=-60 e
d = raiz0.3^2 + 0.4^2 = 0.5
Logo o numerador é
0.3cdot(-50) + 0.4cdot(-60) = -15 - 24 = -39
Portanto
dddt = -390.5 = -78

Passo 5

O resultado negativo indica que a distância está diminuindo, ou seja, os carros estão se aproximando a 78 km/h.

Resposta

-78 km/h

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