Dê a interpretação geométrica do conceito de plano tangente e exemplifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente entender o que é um plano tangente de forma geométrica e dar um exemplo disso. Para resolver isso, a gente vai precisar conhecer um pouco sobre superfícies e como elas se comportam em pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em uma superfície no espaço, como uma bola ou uma montanha. Um plano tangente é um plano que “encosta” nessa superfície em um único ponto. Imagina colocar um papel bem fininho tocando a superfície em só um lugar - esse papel seria o plano tangente.
Passo 3
Agora, por que isso é útil? O plano tangente nos ajuda a aproximar a superfície perto daquele ponto específico. É como se a superfície e o plano tangente fossem quase iguais perto do ponto de contato. Isso facilita estudos e cálculos, porque trabalhar com planos é mais simples do que com superfícies curvas.
Passo 4
Vamos detalhar um pouco mais. Se você tem uma função
que define uma superfície, o plano tangente nessa superfície no ponto
pode ser encontrado usando as derivadas parciais da função em
. A equação do plano tangente fica:
Aqui,
e
são as derivadas parciais em relação a
e
, respectivamente.
Passo 5
Vamos para um exemplo prático! Imagine a superfície de uma esfera com raio 1, centrada na origem, descrita pela equação:
Queremos encontrar o plano tangente nesse ponto específico:
.
Passo 6
Aplicando a fórmula do plano tangente:
Na esfera,
. Calculando as derivadas:
No ponto
, temos
e
. Então, a equação do plano tangente fica:
Isso significa que o plano tangente à esfera no ponto
é o plano horizontal
.
Resposta
Um plano tangente a uma superfície em um ponto é o plano que “encosta” na superfície exatamente nesse ponto, servindo como a melhor aproximação linear da superfície ali. Por exemplo, para a esfera
no ponto
, o plano tangente é o plano horizontal
.