Dê a interpretação geométrica do conceito de plano tangente e exemplifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente entender o que é um plano tangente de forma geométrica e dar um exemplo disso. Para resolver isso, a gente vai precisar conhecer um pouco sobre superfícies e como elas se comportam em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em uma superfície no espaço, como uma bola ou uma montanha. Um plano tangente é um plano que “encosta” nessa superfície em um único ponto. Imagina colocar um papel bem fininho tocando a superfície em só um lugar - esse papel seria o plano tangente.

Passo 3

Agora, por que isso é útil? O plano tangente nos ajuda a aproximar a superfície perto daquele ponto específico. É como se a superfície e o plano tangente fossem quase iguais perto do ponto de contato. Isso facilita estudos e cálculos, porque trabalhar com planos é mais simples do que com superfícies curvas.

Passo 4

Vamos detalhar um pouco mais. Se você tem uma função z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0) que define uma superfície, o plano tangente nessa superfície no ponto pode ser encontrado usando as derivadas parciais da função em . A equação do plano tangente fica:
Aqui, e são as derivadas parciais em relação a e , respectivamente.

Passo 5

Vamos para um exemplo prático! Imagine a superfície de uma esfera com raio 1, centrada na origem, descrita pela equação:
x^2 + y^2 + z^2 = 1
Queremos encontrar o plano tangente nesse ponto específico: .

Passo 6

Aplicando a fórmula do plano tangente:
z = f(0, 0) + fx(0, 0)(x - 0) + fy(0, 0)(y - 0)
Na esfera, fx = -xraiz1 - x^2 - y^2 e fy = -yraiz1 - x^2 - y^2 . Calculando as derivadas:
z = 1 + 0 cdot x + 0 cdot y implies z = 1
No ponto , temos e . Então, a equação do plano tangente fica:
Isso significa que o plano tangente à esfera no ponto é o plano horizontal .

Resposta

Um plano tangente a uma superfície em um ponto é o plano que “encosta” na superfície exatamente nesse ponto, servindo como a melhor aproximação linear da superfície ali. Por exemplo, para a esfera no ponto , o plano tangente é o plano horizontal .

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