Exercs. 21-28: Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
sumn=2^infty 1raiz4 n^3-5 n

Passo 1

Enunciado: Temos a série sumn=2^infty1raiz4n^3-5n. O conteúdo aqui é o teste limite de comparação, que exige comparar o comportamento do termo geral com o de uma p-série conhecida.

Passo 2

Identificamos o termo geral an=1raiz4n^3-5n. Para grandes n, raiz4n^3-5nsimraiz4n^3=2n^3/2, então escolhemos a série de referência bn=12n^3/2, uma p-série com p=3/2>1.

Passo 3

Calculamos o limite do quociente dos termos gerais para aplicar o teste limite de comparação. Temos
anbn =1raiz4n^3-5n12n^3/2 =2n^3/2raiz4n^3-5n =2n^3/22n^3/2raiz1-tfrac54n^2 =1raiz1-tfrac54n^2
E esse limite tende a 1, um número finito e estritamente maior que zero.

Passo 4

Como sum bn=sumtfrac12n^3/2 é convergente (p-série com p=3/2>1) e o limite limntoinftyan/bn=1 é finito e não nulo, o teste limite de comparação nos diz que a série original também converge.

Resposta

A série converge pelo teste limite de comparação, pois se compara a uma p-série com p=3/2>1 e o limite do quociente dos termos é 1 (finito e não nulo).

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