Exercs. 23-28: Ache os três primeiros termos da série de Taylor de f(x) em c.
f(x)=sec x;
c=pi / 4

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os três primeiros termos da série de Taylor da função $ f(x) = \sec x $ em torno de $ c = \frac{\pi}{4} $. Para isso, vamos precisar utilizar conceitos de derivadas e séries de Taylor.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o valor da função $ f $ no ponto $ c $:
f
Sabemos que $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, então:
c

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada de $ f(x) $:
f(x)
Calculando no ponto $ c $:
f'(x) = ddx sec x = sec x tan x
Sabemos que $ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $, então:
c

Passo 4

Vamos calcular a segunda derivada de $ f(x) $:
f(x)
Aplicando a regra do produto:
f''(x) = ddx (sec x tan x)
Agora, avaliando em $ c $:
f''(x) = sec x tan^2 x + sec^3 x
Como $ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $ e $ \sec\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} $:
c

Resposta

Os três primeiros termos da série de Taylor de $ f(x) = \sec x $ em $ c = \frac{\pi}{4} $ são:
f(x) = sec x

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