Exercs. 23-28: Ache os três primeiros termos da série de Taylor de
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Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os três primeiros termos da série de Taylor da função $ f(x) = \sec x $ em torno de $ c = \frac{\pi}{4} $. Para isso, vamos precisar utilizar conceitos de derivadas e séries de Taylor.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o valor da função $ f $ no ponto $ c $:
Sabemos que $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada de $ f(x) $:
Calculando no ponto $ c $:
Sabemos que $ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $, então:
Passo 4
Vamos calcular a segunda derivada de $ f(x) $:
Aplicando a regra do produto:
Agora, avaliando em $ c $:
Como $ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $ e $ \sec\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} $:
Resposta
Os três primeiros termos da série de Taylor de $ f(x) = \sec x $ em $ c = \frac{\pi}{4} $ são: