Seja f: R R, uma função cuja lei é f(x)=sen(x), determine:
a) f(pi6)
b) f(2 pi)
c) f(5 pi)
d) f(2 pi3)
e) f(x)=raiz22

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a função f(x)=sen(x) em vários pontos e resolver a equação sen(x)=√2/2. Vamos usar conhecimento de ângulos notáveis, círculo trigonométrico e periodicidade do seno.

Passo 2

Para x=π/6 basta lembrar o valor do seno para 30°:
fl(tfracpi6r)=sinl(tfracpi6r)=tfrac12

Passo 3

Usando a periodicidade do seno, que satisfaz sin(x+2pi k)=sin(x):
  • Para x=2π temos
f(2pi)=sin(2pi)=0
- Para x=5π note que 5π=π+4π=π+2·2π então
f(5pi)=sin(5pi)=sin(pi)=0

Passo 4

Para x=2π/3 (120°) usamos o valor do seno de 120°:
fl(tfrac2pi3r)=sinl(tfrac2pi3r)=tfracraiz32

Passo 5

Para resolver sen(x)=√2/2 lembramos os dois ângulos no primeiro e segundo quadrantes com esse valor e a periodicidade do seno. Assim:
x=tfracpi4+2kpiou x=tfrac3pi4+2kpi,, kinZ

Resposta

a) tfrac12
b) 0
c) 0
d) tfracraiz32
e) x=tfracpi4+2kpi ou x=tfrac3pi4+2kpi, kinZ

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