Exercs. 23-28: Ache os três primeiros termos da série de Taylor de f(x) em c.
f(x)=tg x;
c=pi / 3

Passo 1

Vamos buscar os três primeiros termos da série de Taylor de f(x)=tan x em torno de c=pi/3. Para isso usamos a fórmula de Taylor:
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(c)n!(x-c)^n
Precisamos então de f(c), f'(c) e f''(c).

Passo 2

Calculamos primeiro o valor da função e da derivada primeira em c:
f(c)=tanl(tfracpi3r)=raiz3,
f'(x)=sec^2ximplies f'l(tfracpi3r)=sec^2l(tfracpi3r)=l(112r)^2=4

Passo 3

Agora a segunda derivada. Sabemos que
f''(x)=ddx(sec^2x)=2sec^2xtan x
Logo em x=pi/3:
f''l(tfracpi3r)=2cdot4cdotraiz3=8raiz3

Passo 4

Montamos o polinômio de Taylor de grau 2:
T2(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+f''(c)2!(x-c)^2
Substituindo os valores obtidos:
$$T_2(x)=\sqrt{3}+4,(x-\tfrac{\pi}{3})+\frac{8\sqrt{3}}{2}(x-\tfrac{\pi}{3})^2\
=\sqrt{3}+4(x-\tfrac{\pi}{3})+4\sqrt{3},(x-\tfrac{\pi}{3})^2.$$

Passo 5

Portanto, os três primeiros termos da série de Taylor de tan x em torno de pi/3 são como mostrado acima.

Resposta

(\sqrt{3} + 4(x-\frac{\pi}{3}) + 4\sqrt{3}(x-\frac{\pi}{3})^2)

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