Exercs. 23-28: Ache os três primeiros termos da série de Taylor de
em
.
;
Passo 1
Vamos buscar os três primeiros termos da série de Taylor de
em torno de
. Para isso usamos a fórmula de Taylor:
Precisamos então de
Passo 2
Calculamos primeiro o valor da função e da derivada primeira em
:
Passo 3
Agora a segunda derivada. Sabemos que
Logo em
Passo 4
Montamos o polinômio de Taylor de grau 2:
Substituindo os valores obtidos:
$$T_2(x)=\sqrt{3}+4,(x-\tfrac{\pi}{3})+\frac{8\sqrt{3}}{2}(x-\tfrac{\pi}{3})^2\
=\sqrt{3}+4(x-\tfrac{\pi}{3})+4\sqrt{3},(x-\tfrac{\pi}{3})^2.$$
Passo 5
Portanto, os três primeiros termos da série de Taylor de
em torno de
são como mostrado acima.
Resposta
(\sqrt{3} + 4(x-\frac{\pi}{3}) + 4\sqrt{3}(x-\frac{\pi}{3})^2)