Use o Teorema do Valor Extremo de Weierstrass para provar que existem dois números não negativos que somam 12 e cujo produto é máximo. Encontre esses números.
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teorema do Valor Extremo de Weierstrass para mostrar que, entre todos os pares de números não negativos
e
com
, existe um par que maximiza o produto
. Vamos explorar continuidade e compacidade para provar a existência e depois encontrar esse par.
Passo 2
Definimos o conjunto de admissíveis como
. Esse conjunto é fechado (condições de igualdade e desigualdades fechadas) e limitado (
), logo compacto em
. A função
é contínua; pelo Teorema de Weierstrass,
atinge valor máximo em
.
Passo 3
Para localizar esse máximo de forma prática, parametrizamos: seja
e definimos
. Definimos então a função univariada
, contínua em
.
Passo 4
Calculamos a derivada de
:
Em seguida igualamos a zero para achar o ponto crítico, obtendo
e, portanto,
.
Passo 5
Avaliamos
nos extremos e no ponto crítico:
Como
é o maior valor, o máximo ocorre em
, e então
.
Resposta
Os números que maximizam o produto são 6 e 6.