Use o Teorema do Valor Extremo de Weierstrass para provar que existem dois números não negativos que somam 12 e cujo produto é máximo. Encontre esses números.

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema do Valor Extremo de Weierstrass para mostrar que, entre todos os pares de números não negativos x e y com x+y=12, existe um par que maximiza o produto xy. Vamos explorar continuidade e compacidade para provar a existência e depois encontrar esse par.

Passo 2

Definimos o conjunto de admissíveis como D=(x,y)in R^2: x>=0, y>=0, x+y=12. Esse conjunto é fechado (condições de igualdade e desigualdades fechadas) e limitado ( 0<= x,y<=12), logo compacto em R^2. A função f(x,y)=x,y é contínua; pelo Teorema de Weierstrass, f atinge valor máximo em D.

Passo 3

Para localizar esse máximo de forma prática, parametrizamos: seja xin[0,12] e definimos y=12-x. Definimos então a função univariada g(x)=x(12-x), contínua em [0,12].

Passo 4

Calculamos a derivada de g:
g'(x)=12-2x
Em seguida igualamos a zero para achar o ponto crítico, obtendo 12-2x=0 e, portanto, x=6.

Passo 5

Avaliamos g nos extremos e no ponto crítico:
g(0)=0, g(6)=6cdot(12-6)=36, g(12)=0
Como g(6)=36 é o maior valor, o máximo ocorre em x=6, e então y=12-6=6.

Resposta

Os números que maximizam o produto são 6 e 6.

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