Exercs. 25-30: Ache cada limite, se existe:
27 $f(x)=\sqrt{x+6}+x ;
a=-6$
27 $f(x)=\sqrt{x+6}+x ;
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite de
quando
tende a
, onde
Informações dadas e observações imediatas:
- A função contém
, que exige . Logo o domínio de é . - O ponto onde queremos o limite é exatamente o extremo esquerdo do domínio:
. - O valor da função em
(quando existe) é
Passo 2
Entendendo o que significa calcular este limite e qual tipo de aproximação é possível aqui.
Conceito prático: \emph{limitar
a
} significa aproximar
por valores diferentes de
que pertencem ao domínio da função. Como o domínio de
só contém pontos com
, qualquer sequência de pontos do domínio que converge para
aproxima-se de
pela direita. Portanto, ao calcular
devemos considerar aproximações de
por valores \emph{no domínio}, ou seja, por
tendendo a
. Em termos formais: todos os
suficientemente próximos de
e pertencentes ao domínio satisfazem
, então o limite a ser verificado é o limite à direita (pela parte do domínio existente). Se todos esses caminhos do domínio levarem ao mesmo valor
, dizemos que o limite existe e é
.
Passo 3
Usar propriedades de limites: a soma de funções tem limite igual à soma dos limites, desde que ambos os limites existam como números finitos. As duas funções envolvidas são
e
.
Explicar por que os limites de
e
ao aproximar
de
(pela direita, isto é, por valores do domínio) existem:
- A função identidade
é contínua em , então
- A função raiz quadrada
é contínua em seu domínio. Como quando vindo do domínio, temos
Essas afirmações seguem da definição de continuidade (ou de propriedades elementares das funções raiz e identidade): para qualquer sequência
no domínio com
, tem-se
e
, logo
.
Passo 4
Somando os limites (já que ambos existem e são finitos), obtemos
Comentário final sobre existência: como a função não está definida para
, todas as aproximações possíveis a
dentro do domínio vêm pela direita; todas elas produzem o mesmo valor limite
. Pelo critério sequencial de limites (toda sequência do domínio convergindo para
dá imagem convergente para o mesmo valor), o limite existe e vale
.