Exercs. 25-30: Ache cada limite, se existe:
27 $f(x)=\sqrt{x+6}+x ;
a=-6$

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite de f quando x tende a a=-6, onde
f(x)=\sqrt{x+6}+x.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função contém \sqrt{x+6}, que exige x+6\ge 0. Logo o domínio de f é x\ge -6.
  • O ponto onde queremos o limite é exatamente o extremo esquerdo do domínio: a=-6.
  • O valor da função em a (quando existe) é
f(-6)=\sqrt{-6+6}+(-6)=0-6=-6.

Passo 2

Entendendo o que significa calcular este limite e qual tipo de aproximação é possível aqui.
Conceito prático: \emph{limitar x a a} significa aproximar x por valores diferentes de a que pertencem ao domínio da função. Como o domínio de f só contém pontos com x\ge -6, qualquer sequência de pontos do domínio que converge para -6 aproxima-se de -6 pela direita. Portanto, ao calcular \lim_{x\to -6} f(x) devemos considerar aproximações de x por valores \emph{no domínio}, ou seja, por x>-6 tendendo a -6. Em termos formais: todos os x suficientemente próximos de -6 e pertencentes ao domínio satisfazem x\ge -6, então o limite a ser verificado é o limite à direita (pela parte do domínio existente). Se todos esses caminhos do domínio levarem ao mesmo valor L, dizemos que o limite existe e é L.

Passo 3

Usar propriedades de limites: a soma de funções tem limite igual à soma dos limites, desde que ambos os limites existam como números finitos. As duas funções envolvidas são
g(x)=\sqrt{x+6},\qquad h(x)=x,
e f(x)=g(x)+h(x).
Explicar por que os limites de g e h ao aproximar x de -6 (pela direita, isto é, por valores do domínio) existem:
  • A função identidade h(x)=x é contínua em -6, então
\lim_{x\to -6} h(x)=\lim_{x\to -6} x = -6.
  • A função raiz quadrada g(x)=\sqrt{x+6} é contínua em seu domínio. Como x+6\to 0^+ quando x\to -6 vindo do domínio, temos
\lim_{x\to -6} g(x)=\lim_{x\to -6} \sqrt{x+6}=\sqrt{0}=0.
Essas afirmações seguem da definição de continuidade (ou de propriedades elementares das funções raiz e identidade): para qualquer sequência x_n no domínio com x_n\to -6, tem-se x_n\to -6 e x_n+6\to 0, logo \sqrt{x_n+6}\to 0.

Passo 4

Somando os limites (já que ambos existem e são finitos), obtemos
\lim_{x\to -6} f(x)=\lim_{x\to -6}\big(\sqrt{x+6}+x\big) =\lim_{x\to -6}\sqrt{x+6}+\lim_{x\to -6}x=0+(-6)=-6.
Comentário final sobre existência: como a função não está definida para x<-6, todas as aproximações possíveis a -6 dentro do domínio vêm pela direita; todas elas produzem o mesmo valor limite -6. Pelo critério sequencial de limites (toda sequência do domínio convergindo para -6 dá imagem convergente para o mesmo valor), o limite existe e vale -6.

Resposta

-6

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