Exercs. 25-30: Ache cada limite, se existe:
28 f(x)=\sqrt{5-2 x}-x^{2} ; a=\frac{5}{2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite de f(x)=\sqrt{5-2x}-x^{2} quando x tende a a=\dfrac{5}{2}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\sqrt{5-2x}-x^{2}.
  • O ponto de interesse é a=\dfrac{5}{2}.
  • A pergunta é: o limite \lim_{x\to \tfrac{5}{2}} f(x) existe? Se existir, qual é o valor?

Passo 2

Verificar onde a função está definida (domínio), porque a raiz exige argumento não negativo. Resolver a desigualdade:
5-2x \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad -2x \ge -5 \quad\Longrightarrow\quad x \le \frac{5}{2}.
Logo o domínio da função é \{x\mid x\le \tfrac{5}{2}\}. Em particular, x=\tfrac{5}{2} pertence ao domínio, mas não há valores de x maiores que \tfrac{5}{2} onde f esteja definida.

Passo 3

Entender o que isso implica para o limite em a=\tfrac{5}{2}. Para existir o limite bilateral \lim_{x\to \tfrac{5}{2}} f(x) é preciso que os valores de f(x) ao nos aproximarmos de \tfrac{5}{2} tanto pela esquerda quanto pela direita tenham o mesmo resultado. Aqui a função não está definida à direita de \tfrac{5}{2}, portanto o limite bilateral não pode ser obtido via aproximação pela direita. Conclusão imediata: o limite bilateral \lim_{x\to \tfrac{5}{2}} f(x) não existe porque não há valores de f para x>\tfrac{5}{2}.
Ainda assim, podemos calcular o limite pela esquerda (limite unilateral esquerdo) \lim_{x\to \tfrac{5}{2}^-} f(x). Esse limite é o que faz sentido aqui porque o domínio permite aproximar \tfrac{5}{2} por valores x<\tfrac{5}{2}.

Passo 4

Explicar por que podemos simplesmente substituir x=\tfrac{5}{2} para encontrar o limite pela esquerda: as funções elementares envolvidas são contínuas nas partes relevantes. Mais precisamente:
  • A função g(t)=\sqrt{t} é contínua em [0,\infty).
  • A função h(x)=5-2x é contínua em \mathbb{R}, logo a composição x\mapsto \sqrt{5-2x} é contínua nos pontos onde 5-2x\ge0, em particular em x=\tfrac{5}{2} quando consideramos aproximações vindas da esquerda.
  • A função x\mapsto x^{2} é contínua em todo \mathbb{R}.
    Como a diferença de funções contínuas é contínua no ponto (pelo menos no lado em que estão definidas), segue que
\lim_{x\to \tfrac{5}{2}^-}\big(\sqrt{5-2x}-x^{2}\big)=\sqrt{5-2\cdot \tfrac{5}{2}}-\big(\tfrac{5}{2}\big)^{2}.
Calcular os termos:
\sqrt{5-2\cdot \tfrac{5}{2}}=\sqrt{5-5}=\sqrt{0}=0, \qquad \big(\tfrac{5}{2}\big)^{2}=\tfrac{25}{4}.
Portanto
\lim_{x\to \tfrac{5}{2}^-} f(x)=0-\tfrac{25}{4}=-\tfrac{25}{4}.

Passo 5

(Pra quem gosta de ver outra verificação) Podemos também verificar por manipulação algébrica: escrever
f(x)=\sqrt{5-2x}-x^{2}=\frac{5-2x-x^{4}}{\sqrt{5-2x}+x^{2}}
multiplicando numerador e denominador pela conjugada. Ao substituir x=\tfrac{5}{2} no numerador e no denominador nota-se que o numerador tende a -\tfrac{625}{16} e o denominador tende a \tfrac{25}{4}, daí o quociente tende a -\tfrac{625}{16}\cdot\dfrac{4}{25}=-\tfrac{25}{4}, conferindo o resultado do passo anterior.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to \tfrac{5}{2}^-} f(x) = -\tfrac{25}{4}
\displaystyle \lim_{x\to \tfrac{5}{2}} f(x)\\ \text{não existe (função não definida para }x>\tfrac{5}{2}\text{)}ãçãã

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