Exercs. 25-30: Ache cada limite, se existe:
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Passo 1
O enunciado pede calcular o limite de
quando
tende a
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto de interesse é
. - A pergunta é: o limite
existe? Se existir, qual é o valor?
Passo 2
Verificar onde a função está definida (domínio), porque a raiz exige argumento não negativo. Resolver a desigualdade:
Logo o domínio da função é
. Em particular,
pertence ao domínio, mas não há valores de
maiores que
onde
esteja definida.
Passo 3
Entender o que isso implica para o limite em
. Para existir o limite bilateral
é preciso que os valores de
ao nos aproximarmos de
tanto pela esquerda quanto pela direita tenham o mesmo resultado. Aqui a função não está definida à direita de
, portanto o limite bilateral não pode ser obtido via aproximação pela direita. Conclusão imediata: o limite bilateral
não existe porque não há valores de
para
.
Ainda assim, podemos calcular o limite pela esquerda (limite unilateral esquerdo)
. Esse limite é o que faz sentido aqui porque o domínio permite aproximar
por valores
.
Passo 4
Explicar por que podemos simplesmente substituir
para encontrar o limite pela esquerda: as funções elementares envolvidas são contínuas nas partes relevantes. Mais precisamente:
- A função
é contínua em . - A função
é contínua em , logo a composição é contínua nos pontos onde , em particular em quando consideramos aproximações vindas da esquerda. - A função
é contínua em todo .
Como a diferença de funções contínuas é contínua no ponto (pelo menos no lado em que estão definidas), segue que
Calcular os termos:
Portanto
Passo 5
(Pra quem gosta de ver outra verificação) Podemos também verificar por manipulação algébrica: escrever
multiplicando numerador e denominador pela conjugada. Ao substituir
no numerador e no denominador nota-se que o numerador tende a
e o denominador tende a
, daí o quociente tende a
, conferindo o resultado do passo anterior.