Exercs. 23-24: Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe.
24 \lim _{z \rightarrow 5} \frac{z-5}{z^{2}-10 z+25},

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{z\to 5}\frac{z-5}{z^{2}-10z+25}.
Informações dadas:
  • A função a analisar é \dfrac{z-5}{z^{2}-10z+25}.
  • O ponto de interesse é z=5.
    Não se resolveu nada ainda; só identifiquei o que é pedido e os dados disponíveis.

Passo 2

Vamos inspecionar o denominador z^{2}-10z+25. Uma técnica útil é reconhecer quadrados perfeitos. Lembre que
(z-a)^2 = z^2 - 2az + a^2.
Comparando com z^{2}-10z+25, temos 2a=10 e a^2=25, logo a=5. Portanto
z^{2}-10z+25 = (z-5)^2.

Passo 3

Substituindo a fatoração no motivo original, obtemos (para z\neq 5, pois em z=5 o denominador é zero)
\frac{z-5}{z^{2}-10z+25}=\frac{z-5}{(z-5)^2}.
Como z-5 é fator comum, para z\neq 5 podemos cancelar uma cópia, ficando
\frac{z-5}{(z-5)^2}=\frac{1}{z-5}\qquad(\text{válido para }z\neq 5).á

Passo 4

Importante conceito de limite: o limite quando z\to 5 depende do comportamento da função em valores próximos de 5, não do valor que a função toma exatamente em z=5. Como a expressão original coincide com \dfrac{1}{z-5} para todos os z perto de 5, exceto em z=5 em si, podemos estudar o limite usando \dfrac{1}{z-5}.

Passo 5

Calcular o limite pela direita. Quando z\to 5^+ temos z-5\to 0^+ (um número pequeno e positivo). Para a função 1/(z-5), o recíproco de um número positivo muito pequeno é um número muito grande e positivo. Exemplificando: z=5{,}1\Rightarrow 1/(z-5)=10, z=5{,}01\Rightarrow 100, e assim por diante. Portanto
\lim_{z\to 5^+}\frac{z-5}{z^{2}-10z+25}=\lim_{z\to 5^+}\frac{1}{z-5}=+\infty.

Passo 6

Calcular o limite pela esquerda. Quando z\to 5^- temos z-5\to 0^- (um número pequeno e negativo). O recíproco de um número negativo muito pequeno é um número com grande magnitude e negativo. Exemplificando: z=4{,}9\Rightarrow 1/(z-5)=-10, z=4{,}99\Rightarrow -100. Portanto
\lim_{z\to 5^-}\frac{z-5}{z^{2}-10z+25}=\lim_{z\to 5^-}\frac{1}{z-5}=-\infty.

Passo 7

Conclusão sobre o limite bilateral: como os limites laterais não coincidem ( +\infty pela direita e -\infty pela esquerda), o limite bilateral \lim_{z\to 5}\dfrac{z-5}{z^{2}-10z+25} não existe como número real finito. Em linguagem comum: a expressão diverge; mais precisamente, as duas partes divergem com sinais opostos.

Resposta

Não existe (diverge): \lim_{z\to 5^+}\dfrac{z-5}{z^{2}-10z+25}=+\infty e \lim_{z\to 5^-}\dfrac{z-5}{z^{2}-10z+25}=-\infty.

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