Exercs. 23-24: Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe.
24
,
24
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas:
- A função a analisar é
. - O ponto de interesse é
.
Não se resolveu nada ainda; só identifiquei o que é pedido e os dados disponíveis.
Passo 2
Vamos inspecionar o denominador
. Uma técnica útil é reconhecer quadrados perfeitos. Lembre que
Comparando com
, temos
e
, logo
. Portanto
Passo 3
Substituindo a fatoração no motivo original, obtemos (para
, pois em
o denominador é zero)
Como
é fator comum, para
podemos cancelar uma cópia, ficando
Passo 4
Importante conceito de limite: o limite quando
depende do comportamento da função em valores próximos de
, não do valor que a função toma exatamente em
. Como a expressão original coincide com
para todos os
perto de
, exceto em
em si, podemos estudar o limite usando
.
Passo 5
Calcular o limite pela direita. Quando
temos
(um número pequeno e positivo). Para a função
, o recíproco de um número positivo muito pequeno é um número muito grande e positivo. Exemplificando:
,
, e assim por diante. Portanto
Passo 6
Calcular o limite pela esquerda. Quando
temos
(um número pequeno e negativo). O recíproco de um número negativo muito pequeno é um número com grande magnitude e negativo. Exemplificando:
,
. Portanto
Passo 7
Conclusão sobre o limite bilateral: como os limites laterais não coincidem (
pela direita e
pela esquerda), o limite bilateral
não existe como número real finito. Em linguagem comum: a expressão diverge; mais precisamente, as duas partes divergem com sinais opostos.
Resposta
Não existe (diverge):
e
.