34 Seja f definida como segue
f(x)=\left\{\begin{array}{rrl}1 & \text { se } & x \text { é racional } \\\\ -1 & \text { se } & x \text { é irracional }\end{array}\right.éé
Mostre que \lim _{x \rightarrow a} f(x) não existe para nenhum número real a.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\begin{cases} 1 & \text{se } x\in\mathbb{Q},\\[4pt] -1 & \text{se } x\notin\mathbb{Q}, \end{cases}
e pede para mostrar que \lim_{x\to a} f(x) não existe para qualquer número real a.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Para qualquer ponto x, f(x) vale apenas 1 (quando x é racional) ou -1 (quando x é irracional).
  • Precisamos provar a afirmação para um a arbitrário em \mathbb{R} (isto é, mostrar que não existe limite no ponto a, qualquer que seja a).]

Passo 2

Vamos usar um critério muito útil para limites: critério sequencial de limite de função. Ele diz o seguinte (forma prática que usaremos):
Se existir \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=L, então para toda sequência (x_n) com x_n\to a e x_n\neq a para todo n, as imagens f(x_n) devem convergir para L.
A contrapartida prática: se encontrarmos duas sequências (x_n) e (y_n) com x_n\to a e y_n\to a tais que as sequências f(x_n) e f(y_n) convergem para limites diferentes, então \lim_{x\to a} f(x) não existe. Esse é o caminho que vamos seguir: construir uma sequência de racionais que tende a a e outra de irracionais que tende a a; as imagens serão 1 e -1, respetivamente, mostrando falta de unicidade do limite.

Passo 3

Construir uma sequência de números racionais que converge para a.
Uma maneira explícita e simples (que funciona para qualquer a\in\mathbb{R}) é usar aproximações decimais truncadas com um pequeno ajuste para garantir que os termos não sejam iguais a a. Defina, para n\ge1,
q_n=\frac{\lfloor 10^{n}a\rfloor}{10^{n}}+\frac{1}{10^{n+1}}.
Explicando cada parte:
  • \lfloor 10^{n}a\rfloor/10^{n} é a truncatura de a depois de n casas decimais — é um número racional e satisfaz
0\le a-\frac{\lfloor 10^{n}a\rfloor}{10^{n}}<\frac{1}{10^{n}}.
  • Ao somar \dfrac{1}{10^{n+1}} obtém-se outro racional e garante-se que q_n\neq a (mesmo quando a tem expansão decimal finita).
Mostremos que q_n\to a. Temos
|q_n-a| \le\left| \frac{\lfloor 10^{n}a\rfloor}{10^{n}}-a\right|+\frac{1}{10^{n+1}} <\frac{1}{10^{n}}+\frac{1}{10^{n+1}} =\frac{11}{10^{n+1}}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.
Logo q_n\to a. Além disso, cada q_n é racional, então pela definição de f vale f(q_n)=1 para todo n.

Passo 4

Construir uma sequência de números irracionais que converge para a.
A partir dos racionais q_n do passo anterior, podemos obter irracionais simplesmente somando um irracional muito pequeno. Defina
t_n=q_n+\frac{\sqrt{2}}{10^{n}}.
  • Cada q_n é racional e \dfrac{\sqrt{2}}{10^{n}} é irracional; soma de racional com irracional é irracional, portanto cada t_n é irracional.
  • Vamos ver que t_n\to a. Como q_n\to a e \dfrac{\sqrt{2}}{10^{n}}\to 0, pela regra de soma de limites segue que
t_n=q_n+\frac{\sqrt{2}}{10^{n}}\xrightarrow[n\to\infty]{}a+0=a.
E claramente t_n\neq a para todo n. Pela definição de f, para todo n vale f(t_n)=-1.

Passo 5

Aplicar o critério sequencial para concluir que o limite não existe.
Juntando os passos anteriores:
  • Temos (q_n) com q_n\to a e f(q_n)=1 para todo n. Logo f(q_n)\to 1.
  • Temos (t_n) com t_n\to a e f(t_n)=-1 para todo n. Logo f(t_n)\to -1.
As duas subsequências de valores de f ao aproximar-se de a têm limites diferentes ( 1 e -1). Pelo critério sequencial, não pode haver um único L tal que para toda sequência x_n\to a se tenha f(x_n)\to L. Portanto \displaystyle\lim_{x\to a} f(x) não existe.
(Intuição rápida: em qualquer vizinhança de a há racionais e irracionais; ao aproximar-se por racionais a função vale sempre 1, ao aproximar-se por irracionais vale sempre -1; esses dois comportamentos contradizem a existência de um único limite.)

Resposta

Para todo a\in\mathbb{R}, \displaystyle\lim_{x\to a} f(x) não existe.

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