Exercs. 29-46: Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty 1raiz[3]5 n^2+1

Passo 1

O exercício pede para determinar se a série de termos positivos
sumn=1^infty 1raiz[3]5 n^2+1
converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é o teste de comparação (ou comparação limite) com p-séries, lembrando que a p-série sum 1/n^p converge se, e somente se, p>1.

Passo 2

Para aplicar o teste de comparação limite, definimos
an = 1raiz[3]5 n^2+1, bn = 1n^2/3
Vamos calcular
L = limntoinfty anbn = limntoinfty 1/(5n^2+1)^1/31/n^2/3 = limntoinfty n^2/3(5n^2+1)^1/3
Para simplificar,
n^2/3(5n^2+1)^1/3 = n^2/3n^2/3(5+1/n^2)^1/3 = 15^1/3,
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L = 15^1/3 > 0

Passo 3

Como L é finito e não-nulo, a série sum an e sum bn têm o mesmo comportamento. Mas sum bn = sum 1/n^2/3 é uma p-série com p=2/3<1, que sabemos diverge. Portanto, a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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