(2,0 pontos) Resolva as EDOs de segunda ordem de coeficientes constantes:
3 y^prime prime+8 y^prime+6 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
3y’’ + 8y’ + 6y = 0. O conteúdo é EDO homogênea de 2ª ordem e vamos usar a técnica da equação característica.

Passo 2

Supondo uma solução do tipo y = e^{rx}, calculamos y’ e y’’:
y' = r e^rx,
y'' = r^2 e^rx
Substituindo na EDO, todas as parcelas ficam com fator e^rx, que não é zero, então obtemos a equação característica.

Passo 3

A equação característica é
3r^2 + 8r + 6 = 0
Calculamos o discriminante:
De
Como De, as raízes serão complexas.

Passo 4

As raízes são
$$r = \frac{-8 \pm \sqrt{-8}}{2\cdot3} = \frac{-8 \pm 2i\sqrt{2}}{6} = -\tfrac{4}{3} \pm i\tfrac{\sqrt{2}}{3}.
r = -8 pm raiz-82cdot3 = -8 pm 2iraiz26 = -tfrac43 pm itfracraiz23 ãçãéy(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x)\bigr).$$

Resposta

y(x) = e^-tfrac43xl(C1cos(tfracraiz23x) + C2sin(tfracraiz23x)r)

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