Exercs. 21-28: Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty 1raizn+9

Passo 1

Estamos analisando a série sumn=1^infty 1raizn+9. O conteúdo aqui é o teste limite de comparação entre séries, e vamos precisar saber que a p-série sum 1/n^p converge se, e somente se, p>1.

Passo 2

Para aplicar o teste limite, escolhemos uma série comparadora que tenha comportamento assintótico semelhante. Como para grandes n vale raizn+9simraizn, definimos
bn=1raizn
que corresponde a uma p-série com p=1/2.

Passo 3

Calculamos o limite
L=limntoinftyanbn,onde an=1raizn+9,;bn=1raizn
Efetuando a divisão e o limite:
anbn=1raizn+91raizn=raiznraizn+9,
logo
L=limntoinftyraiznraizn+9=1

Passo 4

Como 0, o teste limite diz que sum an e sum bn têm o mesmo comportamento de convergência. Mas sum bn=sum 1/raizn é p-série com p=1/2<1, logo diverge. Portanto a série dada diverge.

Resposta

A série diverge.

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