Um massa de 4 kg está suspensa por uma mola cuja constante é
. O peso é colocado em movimento, sem velocidade inicial, deslocando-o
acima da posição de equilíbrio
aplicando-lhe simultaneamente uma força externa
. Desprezando a resistência do ar, encontre a posição da massa em qualquer momento
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma massa de 4 kg presa a uma mola com uma constante elástica de 64 N/m. Quando essa massa é puxada 0,5 metros acima da posição de equilíbrio e, ao mesmo tempo, recebe uma força externa que varia com o tempo, especificamente
. Nosso objetivo é encontrar a posição da massa em qualquer momento
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica vibracional, especificamente equações diferenciais que descrevem sistemas massa-mola com forças externas. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer a equação do movimento para o sistema massa-mola. A segunda lei de Newton nos diz que
, onde
é a aceleração. No nosso caso, as forças atuando são:
- A força da mola, que é
(a mola puxa de volta para a posição de equilíbrio). - A força externa,
.
Então, a equação fica:
Onde:
-
é a segunda derivada da posição em relação ao tempo (aceleração). -
�� a posição da massa. -
-
-
Substituindo os valores, temos:
Passo 3
Vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 4:
Agora, temos uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, precisamos encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da não homogênea.
Passo 4
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
A solução geral dessa equação é da forma:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Observamos que o lado direito é uma função senoidal com a mesma frequência da solução homogênea. Nesse caso, para evitar ambiguidades, vamos multiplicar nossa suposição por
. Assim, assumimos:
Onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Substituímos
e
na equação:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 8
Igualando os coeficientes dos termos sen e cos:
Para
:
Para
:
Então, a solução particular é:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 10
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
As condições são:
-
m -
m/s (já que a massa parte sem velocidade inicial)
Primeiro, aplicamos
:
Então,
.
Passo 11
Agora, calculamos a primeira derivada de
:
Aplicamos
:
Resolvendo para
:
Passo 12
Substituímos
e
na solução geral:
Podemos simplificar agrupando os termos com
:
Resposta
A posição da massa em qualquer momento
é dada por: