Um massa de 4 kg está suspensa por uma mola cuja constante é 64 N / m. O peso é colocado em movimento, sem velocidade inicial, deslocando-o 0,5 m acima da posição de equilíbrio (y(0)=-0,5) aplicando-lhe simultaneamente uma força externa F(t)=8 sen 4 t. Desprezando a resistência do ar, encontre a posição da massa em qualquer momento t.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma massa de 4 kg presa a uma mola com uma constante elástica de 64 N/m. Quando essa massa é puxada 0,5 metros acima da posição de equilíbrio e, ao mesmo tempo, recebe uma força externa que varia com o tempo, especificamente . Nosso objetivo é encontrar a posição da massa em qualquer momento .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica vibracional, especificamente equações diferenciais que descrevem sistemas massa-mola com forças externas. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer a equação do movimento para o sistema massa-mola. A segunda lei de Newton nos diz que m cdot y'' + k cdot y = F(t) , onde 4y'' + 64y = 8 sin(4t) é a aceleração. No nosso caso, as forças atuando são:
  1. A força da mola, que é (a mola puxa de volta para a posição de equilíbrio).
  2. A força externa, .
Então, a equação fica:
Onde:
  • é a segunda derivada da posição em relação ao tempo (aceleração).
  • �� a posição da massa.
Substituindo os valores, temos:

Passo 3

Vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 4:
y'' + 16y = 2 sin(4t)
Agora, temos uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, precisamos encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da não homogênea.

Passo 4

Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
y'' + 16y = 0
A solução geral dessa equação é da forma:
yh(t) = C1 cos(4t) + C2 sin(4t)
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
y'' + 16y = 2 sin(4t)
Observamos que o lado direito é uma função senoidal com a mesma frequência da solução homogênea. Nesse caso, para evitar ambiguidades, vamos multiplicar nossa suposição por yp(t) = t ( A cos(4t) + B sin(4t) ) . Assim, assumimos:
Onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 6

Calculamos as derivadas de yp' = A cos(4t) + B sin(4t) + t(-4A sin(4t) + 4B cos(4t)) :
Primeira derivada:
yp'' = -8A sin(4t) + 8B cos(4t) - 16A t cos(4t) - 16B t sin(4t)
Segunda derivada:

Passo 7

Substituímos yp'' + 16 yp = 2 sin(4t) e [-8A sin(4t) + 8B cos(4t) - 16A t cos(4t) - 16B t sin(4t)] + 16 [t(A cos(4t) + B sin(4t))] = 2 sin(4t) na equação:
-8A sin(4t) + 8B cos(4t) = 2 sin(4t)
Substituindo:
Simplificando:

Passo 8

Igualando os coeficientes dos termos sen e cos:
Para -8A = 2 implies A = -14 :
8B = 0 implies B = 0
Para yp(t) = t ( -14 cos(4t) ) = -t4 cos(4t) :
Então, a solução particular é:

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 cos(4t) + C2 sin(4t) - t4 cos(4t)

Passo 10

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes -0,5 = C1 cos(0) + C2 sin(0) - 04 cos(0) implies -0,5 = C1 e .
As condições são:
  1. m
  2. m/s (já que a massa parte sem velocidade inicial)
Primeiro, aplicamos :
Então, .

Passo 11

Agora, calculamos a primeira derivada de y'(t) = -4C1 sin(4t) + 4C2 cos(4t) - 14 cos(4t) + t sin(4t) :
0 = -4C1 sin(0) + 4C2 cos(0) - 14 cos(0) + 0 = 4C2 - 14
Aplicamos 4C2 - 14 = 0 implies C2 = 116 :
Resolvendo para :

Passo 12

Substituímos y(t) = -0,5 cos(4t) + 116 sin(4t) - t4 cos(4t) e y(t) = ( -0,5 - t4 ) cos(4t) + 116 sin(4t) na solução geral:
Podemos simplificar agrupando os termos com :

Resposta

A posição da massa em qualquer momento y(t) = ( -12 - t4 ) cos(4t) + 116 sin(4t) é dada por:

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