Escreva uma integral iterada para o volume do sólido limitado pelo paraboloide z=x^2+y^2 e pelo plano z=4.

Passo 1

O exercício pede para montar uma integral iterada que dê o volume do sólido limitado pelo paraboloide z = x^2 + y^2 por baixo e pelo plano z = 4 por cima. O conteúdo é cálculo de volume por integrais duplas ou triplas e vamos precisar usar a ideia de projetar o sólido no plano xy.

Passo 2

Para achar o volume usando projeção no plano xy, lembramos que o volume pode ser dado por
V = integral duplaD l(ztopo - zfundor),dA
onde ztopo=4 e zfundo=x^2+y^2.

Passo 3

Precisamos descrever a região D no plano xy onde o paraboloide encontra o plano. Fazendo x^2+y^2=4, vemos que D é o disco de raio 2 centrado na origem, ou seja
D:;x^2+y^2 <= 4

Passo 4

Como a região é circular, fica natural usar coordenadas polares. Colocamos x=rcostheta, y=rsintheta, o elemento de área é dA = r,dr,dtheta, e o integrando fica 4 - r^2. Assim a integral iterada fica:

Resposta

$$\nV = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} (4 - r^2),r,dr,d\theta.
$$

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