Escreva uma integral iterada para o volume do sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
.
Passo 1
O exercício pede para montar uma integral iterada que dê o volume do sólido limitado pelo paraboloide
por baixo e pelo plano
por cima. O conteúdo é cálculo de volume por integrais duplas ou triplas e vamos precisar usar a ideia de projetar o sólido no plano
.
Passo 2
Para achar o volume usando projeção no plano
, lembramos que o volume pode ser dado por
onde
e
.
Passo 3
Precisamos descrever a região
no plano
onde o paraboloide encontra o plano. Fazendo
, vemos que
é o disco de raio 2 centrado na origem, ou seja
Passo 4
Como a região é circular, fica natural usar coordenadas polares. Colocamos
,
, o elemento de área é
, e o integrando fica
. Assim a integral iterada fica:
Resposta
$$\nV = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} (4 - r^2),r,dr,d\theta.
$$