Exercs. 29-46: Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty sen 1n^2

Passo 1

O enunciado pede para a gente testar a convergência da série sumn=1^infty sinl(1/n^2r). O assunto é séries numéricas e vamos usar teste de comparação (e, se quiser, teste de limite) para decidir se ela converge.

Passo 2

A ideia central é lembrar que para todo x>0 vale a desigualdade sin x<= x. Além disso, quando xto0, temos a aproximação sin xsim x, que pode ser formalizada pelo limite
limntoinftysinl(1/n^2r)1/n^2=1

Passo 3

Como sin(1/n^2)<=1/n^2 para todo n e sabemos que a p-série sum1/n^2 converge (porque p=2>1), a comparação direta garante que
0<=sinl(1/n^2r)<=1n^2Longrightarrowsumn=1^inftysinl(1/n^2r) conver>=

Passo 4

Como a série comparativa sum1/n^2 converge absolutamente e sin(1/n^2) é não negativa, concluímos que nossa série também converge (e até converge absolutamente).

Resposta

A série converge (pela comparação com a p-série de expoente 2).

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