Mostre que
independe do caminho e determine uma função potencial
para
:
Passo 1
O enunciado pede pra mostrar que o campo
independe do caminho e encontrar uma função potencial
. O conteúdo principal é campos conservativos em
e vamos precisar checar as derivadas parciais cruzadas e, depois, construir
integrando.
Passo 2
Primeiro, notamos que o domínio de
é todo
, que é simplesmente conexo. Em domínios simplesmente conexos,
é conservativo (ou seja, a integral independe do caminho) se e somente se
sendo
e
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais cruzadas:
Como ambas coincidem para todo
, concluímos que o campo é conservativo e, portanto, a integral
independe do caminho.
Passo 4
Agora, para achar a potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função de
só.
Passo 5
Para determinar
, usamos a condição
Temos
e queremos que isso seja igual a
. Portanto
onde
é constante de integração.
Passo 6
Juntando tudo, obtemos a função potencial (à parte de uma constante):