Mostre que integralgamma F independe do caminho e determine uma função potencial phi para F :
F(x, y)=(2 x sin y+4 e^z) i+(x^2 cos y+2) j

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que o campo F(x,y)=(2xsin y + 4e^x,;x^2cos y + 2) independe do caminho e encontrar uma função potencial phi(x,y). O conteúdo principal é campos conservativos em R^2 e vamos precisar checar as derivadas parciais cruzadas e, depois, construir phi integrando.

Passo 2

Primeiro, notamos que o domínio de F é todo R^2, que é simplesmente conexo. Em domínios simplesmente conexos, F é conservativo (ou seja, a integral independe do caminho) se e somente se
partialpartial y(P(x,y)) ,=, partialpartial x(Q(x,y)),
sendo P(x,y)=2xsin y+4e^x e Q(x,y)=x^2cos y+2.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais cruzadas:
partial Ppartial y(x,y)=2xcos y,
partial Qpartial x(x,y)=2xcos y
Como ambas coincidem para todo (x,y), concluímos que o campo é conservativo e, portanto, a integral integralgammaFcdot dr independe do caminho.

Passo 4

Agora, para achar a potencial phi(x,y), integramos P em relação a x:
phi(x,y)=integral(2xsin y +4e^x),dx = x^2sin y +4e^x +h(y),
onde h(y) é uma função de y só.

Passo 5

Para determinar h(y), usamos a condição
partialphipartial y(x,y)=Q(x,y)
Temos
partialphipartial y=x^2cos y + h'(y)
e queremos que isso seja igual a x^2cos y +2. Portanto
h'(y)=2 Longrightarrow h(y)=2y + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Juntando tudo, obtemos a função potencial (à parte de uma constante):
phi(x,y)=x^2sin y +4e^x +2y + C

Resposta

phi(x,y)=x^2sin y +4e^x +2y + C

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