Exercs. 1-30: Ache o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=0^infty n!100^n x^n

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre o intervalo de convergência da série de potências sumn=0^infty n!100^n x^n. O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar o teste da razão para descobrir para quais valores de x a série converge.

Passo 2

Começando, identifiquemos o termo geral da série como an = n!100^nx^n. O teste da razão diz que devemos calcular L = limntoinfty |an+1an|. Se L<1 a série converge, se L>1 diverge, e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular a razão:
|an+1an| = (n+1)!100^n+1,|x|^n+1 ;/; n!100^n,|x|^n = (n+1)|x|100

Passo 4

Agora, analisamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty (n+1)|x|100 = 0,&se |x|=0, +infty,&se |x|>0

Passo 5

Pelo teste da razão, a série converge apenas quando este limite for menor que 1. Mas para qualquer xneq0 o limite é infinito, logo a série diverge. Só em x=0 temos limite zero e convergência.

Passo 6

Portanto, o único ponto de convergência é x=0. O raio de convergência é zero e o intervalo de convergência é apenas o conjunto {0}.

Resposta

A série converge somente em x=0, logo o intervalo de convergência é {0}.

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