Exercs. 1-30: Ache o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=0^infty 10^nn! x^n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências sumn=0^infty 10^nn!x^n. O conteúdo é convergência de séries de potências e vamos usar o teste da razão para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Pelo teste da razão, calculamos o limite L = limntoinfty |an+1x^n+1an x^n| Se L<1, a série converge; se L>1, diverge.

Passo 3

Para nossa série, temos
|an+1x^n+1an x^n| = 10^n+1/(n+1)!,|x|^n+110^n/n!,|x|^n = 10|x|n+1 Ao calcular o limite, obtemos
limntoinfty10|x|n+1=0

Passo 4

Como o limite do teste da razão é 0 para todo x, sempre menor que 1, o raio de convergência é R=infty. Logo, o intervalo de convergência é ( -infty,infty ).

Resposta

(-\infty,\infty)

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