Exercs. 1-30: Ache o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=0^infty 3^2 nn+1(x-2)^n

Passo 1

Temos a série de potências centrada em x₀=2 dada por sumn=0^infty 3^2nn+1(x-2)^n. O conteúdo aqui é encontrar o raio e o intervalo de convergência de uma série de potências, usando principalmente o teste da raiz e, depois, testando os extremos.

Passo 2

Para achar o raio de convergência R, aplicamos o teste da raiz na sequência dos coeficientes an=9^nn+1. Aplicando o teste:
limntoinftyraiz[n]|an|=limntoinftyraiz[n]9^nn+1=9

Passo 3

Como o teste da raiz diz que a série converge se limraiz[n]|an(x-2)^n|<1, temos 9,|x-2|<1, ou seja |x-2|.
Isso dá o intervalo aberto de convergência:
2-tfrac19

Passo 4

Agora testamos os extremos:
  • Em x=2+tfrac19, temos x-2=tfrac19 e a série vira sumn=0^infty9^nn+1l(tfrac19r)^n=sumn=0^infty1n+1, que diverge (harmônica).
  • Em x=2-tfrac19, temos x-2=-tfrac19 e a série é sumn=0^infty(-1)^n1n+1, que converge condicionalmente pelo teste de Leibniz.

Passo 5

Portanto, o intervalo de convergência inclui x=2-tfrac19 e exclui x=2+tfrac19.

Resposta

[17/9,,19/9)

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