Exercs. 1-30: Ache o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série de potências:
Nosso objetivo é encontrar o intervalo de convergência dessa série. Isso significa descobrir para quais valores de essa série “funciona”, ou seja, converge para algum número finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série converge ou diverge calculando o limite da razão entre termos consecutivos da série. Se o limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Então, vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Vamos chamar o termo geral da série de :
Agora, precisamos calcular o limite:
Passo 3
Vamos calcular an+1 = 1(n+1)(n+2)(x-2)^n+1 :
L = limn to infty | 1(n+1)(n+2)(x-2)^n+1 1n(n+1)(x-2)^n |
Agora, substituindo L = limn to infty | n(n+1)(n+1)(n+2) cdot (x-2) | = limn to infty | nn+2 cdot (x-2) | e na expressão do limite:
Simplificando a fração:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite:
limn to infty nn+2 = limn to infty 11 + 2n = 1
Então, o limite L = |x - 2| fica:
Passo 5
Aplicando o Teste da Razão, sabemos que a série converge quando |x - 2| < 1 :
-1 < x - 2 < 1
Isso significa que:
-1 + 2 < x < 1 + 2 1 < x < 3
Vamos resolver essa inequação para encontrar :
Passo 6
Agora temos que a série converge para sumn=1^infty 1n(n+1)(1-2)^n = sumn=1^infty 1n(n+1)(-1)^n no intervalo limn to infty 1n(n+1) = 0 . Mas precisamos verificar o que acontece nos pontos finais sumn=1^infty 1n(n+1)(3-2)^n = sumn=1^infty 1n(n+1)(1)^n = sumn=1^infty 1n(n+1) e 1n(n+1) = 1n - 1n+1 para determinar se eles pertencem ou não ao intervalo de convergência.
Verificando sumn=1^infty ( 1n - 1n+1 ) :
Substituindo na série:
Essa é uma série alternada. Podemos usar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos diminuem em módulo e tendem a zero, a série converge.
Como:
E é uma sequência decrescente, a série converge em .
Verificando :
Substituindo na série:
Essa série pode ser simplificada usando frações parciais: