Exercs. 1-30: Ache o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=0^infty (3 n)!(2 n)! x^n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências sumn=0^infty (3n)!(2n)!x^n. Vamos usar o teste da razão para séries de potências.

Passo 2

Definimos an = (3n)!(2n)!. Pelo teste da razão, analisamos limntoinfty l|an+1x^n+1anx^nr|

Passo 3

Calculamos o quociente das razões de coeficientes:
an+1an = (3(n+1))!(2(n+1))! cdot (2n)!(3n)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(2n+2)(2n+1)

Passo 4

Multiplicando por |x| para incluir o fator da potência, temos
Ln = l|an+1x^n+1anx^nr| = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(2n+2)(2n+1),|x|

Passo 5

Para ntoinfty, o termo dominante do numerador é 27n^3 e do denominador é 4n^2, de modo que
Ln sim 27n^34n^2|x| = 274n,|x| to inftyse xneq0

Passo 6

Como o limite Ln só é menor que 1 para convergência quando x=0, a série só converge nesse ponto.

Resposta

A série converge apenas em x=0, ou seja, o intervalo de convergência é {0}.

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