Considere a equação diferencial
9 t^2 d^2 yd t^2-t(18-12 t^2) d yd t+(4 t^4-6 t^2) y=0, para t>0
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma y(t)=e^r t^2 para r fixo. Determine y(t) uma solução qualquer da equação diferencial, apresentando todos os cálculos.

Passo 1

Temos a EDO de segunda ordem não-constantemente-coeficiente em t>0: 9 t^{2} y’’ - t(18 - 12 t^{2}) y’ + (4 t^{4} - 6 t^{2}) y = 0. Estamos no tópico de equações diferenciais com coeficientes variáveis e vamos usar a forma proposta y(t)=e^{r t^{2}} para determinar r.

Passo 2

Calculamos as derivadas de y(t)=e^{r t^{2}}. Em notação, y’=\frac{d}{dt}(e^{r t^{2}})=2 r t ,e^{r t^{2}} e
y’’=\frac{d}{dt}(2 r t ,e^{r t^{2}})=2 r ,e^{r t^{2}} + 4 r^{2} t^{2} ,e^{r t^{2}} = (2 r + 4 r^{2} t^{2}) ,e^{r t^{2}}.

Passo 3

Substituímos y, y’ e y’’ na EDO:
9 t^2(2 r + 4 r^2 t^2) - t(18 - 12 t^2)(2 r t) + (4 t^4 - 6 t^2) = 0

Passo 4

Expandindo e agrupando termos em t^{4} e t^{2}:
36 r^2 t^4 + 18 r t^2 - 36 r t^2 + 24 r t^4 + 4 t^4 - 6 t^2 = 0,

Passo 5

Logo
(36 r^2 + 24 r + 4) t^4 + (-18 r - 6) t^2 = 0

Passo 6

Como a identidade vale para todo t>0, os coeficientes devem zerar, dando o sistema:
36 r^2 + 24 r + 4 = 0, -18 r - 6 = 0

Passo 7

Da segunda equação vem r = -\tfrac{1}{3}, que satisfaz também a primeira. Portanto a forma escolhida gera solução para r = -1/3.

Resposta

Uma solução da EDO é
y(t) = e^-tfrac13 t^2

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