Considere a equação diferencial
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma
para
fixo. Determine
uma solução qualquer da equação diferencial, apresentando todos os cálculos.
Passo 1
Temos a EDO de segunda ordem não-constantemente-coeficiente em t>0: 9 t^{2} y’’ - t(18 - 12 t^{2}) y’ + (4 t^{4} - 6 t^{2}) y = 0. Estamos no tópico de equações diferenciais com coeficientes variáveis e vamos usar a forma proposta y(t)=e^{r t^{2}} para determinar r.
Passo 2
Calculamos as derivadas de y(t)=e^{r t^{2}}. Em notação, y’=\frac{d}{dt}(e^{r t^{2}})=2 r t ,e^{r t^{2}} e
y’’=\frac{d}{dt}(2 r t ,e^{r t^{2}})=2 r ,e^{r t^{2}} + 4 r^{2} t^{2} ,e^{r t^{2}} = (2 r + 4 r^{2} t^{2}) ,e^{r t^{2}}.
y’’=\frac{d}{dt}(2 r t ,e^{r t^{2}})=2 r ,e^{r t^{2}} + 4 r^{2} t^{2} ,e^{r t^{2}} = (2 r + 4 r^{2} t^{2}) ,e^{r t^{2}}.
Passo 3
Substituímos y, y’ e y’’ na EDO:
Passo 4
Expandindo e agrupando termos em t^{4} e t^{2}:
Passo 5
Logo
Passo 6
Como a identidade vale para todo t>0, os coeficientes devem zerar, dando o sistema:
Passo 7
Da segunda equação vem r = -\tfrac{1}{3}, que satisfaz também a primeira. Portanto a forma escolhida gera solução para r = -1/3.
Resposta
Uma solução da EDO é