Exercs. 1-30: Ache o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=2^infty ln nn^3 x^n

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potências sumn=2^infty ln nn^3 x^n. O conteúdo principal é série de potências, e vamos precisar usar o teste da raiz (ou razão) para determinar o raio de convergência, e depois verificar o comportamento nos extremos.

Passo 2

Para achar o raio de convergência R, aplicamos o teste da raiz. Observamos o termo geral an x^n com an=ln nn^3. Calculamos
limntoinfty raiz[n]l|an x^nr| = |x| ;limntoinfty raiz[n]ln nn^3
Como
limntoinfty raiz[n]ln n=1 e limntoinfty raiz[n]n^3=1,
ficamos com
limntoinfty raiz[n]l|an x^nr|=|x|
Pelo teste, a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1. Logo, o raio de convergência é R=1, e a convergência potencial ocorre em -1<= x<=1.

Passo 3

Agora testamos o ponto x=1. A série vira
sumn=2^infty ln nn^3
Para verificar a convergência, comparamos com uma série p: note que para n>=2 vale ln n< n^1/2, então
0<= ln nn^3
Como sum 1/n^5/2 converge (p > 1), pela comparação a nossa série em x=1 também converge.

Passo 4

Agora testamos o ponto x=-1. A série fica
sumn=2^infty (-1)^n ln nn^3
É uma série alternada com termos positivos bn=ln nn^3 que satisfazem bnsearrow0. De fato, bnto0 e para n grande bn+1. Pelo teste de Leibniz (série alternada), a série converge.

Passo 5

Como a série converge para x=1, converge para x=-1 e converge para todo |x|<1, o intervalo de convergência é

Resposta

[-1,1]

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