Exercs. 1-30: Ache o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=0^infty 1(-4)^n x^2 n+1

Passo 1

Queremos achar o intervalo de convergência da série de potências sumn=0^infty 1(-4)^nx^2n+1. O conteúdo da matéria é séries de potências e séries geométricas, e vamos usar o critério de convergência para séries geométricas: uma série sum ar^n converge se |r|<1.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral para identificar a série geométrica:
1(-4)^nx^2n+1=xcdotx^2n(-4)^n=xcdotl(-x^24r)^n,
ou seja, nossa série fica xsumn=0^inftyl(-tfracx^24r)^n, com razão r=-tfracx^24.

Passo 3

Aplicamos a condição de convergência de uma geométrica:
|r|=l| -x^24r|<1impliesx^24<1implies|x|<2

Passo 4

Ainda precisamos checar os extremos: Para x=2, a razão vale r=-1 e a série fica 2sum(-1)^n, que não converge. Para x=-2, a razão também é -1 e a série é -2sum(-1)^n, que também não converge.

Resposta

(-2,2)

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