Exercs. 1-30: Ache o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=1^infty(-1)^n e^n+1n^n(x-1)^n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em 1
Conteúdo: séries de potências e teste da razão para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Para séries de potências usamos o teste da razão: se aₙ é o termo geral da série, definimos
L=limntoinfty|an+1an|
Se L<1 converge, se L>1 diverge, se L=1 dá indeterminação.

Passo 3

No nosso caso temos
an =(-1)^ne^n+1n^n(x-1)^n,
então
|an|=e^n+1n^n,|x-1|^n
e
|an+1an|=ecdotn^n(n+1)^n+1,|x-1|

Passo 4

Para simplificar note que
n^n(n+1)^n+1=1n+1l(nn+1r)^nto1n+1e^-1(ntoinfty)
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L=|x-1|limntoinftye1n+1e^-1=|x-1|limntoinfty1n+1=0
Esse L é menor que 1 para todo x.

Passo 5

Como o limite do teste da razão dá 0<1 para qualquer valor de x, o raio de convergência é infinito, ou seja, a série converge em todo R.

Resposta

(-\infty,,\infty)

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