Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule d zd t e d wd t : z=arctg(yx), x=ln (t), y=e^t

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado e identificar o que é pedido: temos , z=arctan(y/x), com as variáveis x e y dependentes de t via x=ln(t) e y=e^t. Queremos calcular dz/dt usando a regra da cadeia para uma função z=f(x,y), e depois utilizar a regra da cadeia para w=f(x,y,z) e obter dw/dt em função das derivadas parciais.

Passo 2

Em seguida, calculamos as derivadas de x e y em relação a t:
dxdt=ddt[ln(t)] = 1t,
dydt=ddt[e^t] = e^t

Passo 3

Agora, precisamos das derivadas parciais de z em relação a x e y. Como z=arctan(u) com u=y/x, usamos:
ddu[arctan(u)] = 11+u^2
Calculando u=y/x:
partial upartial x = -yx^2, partial upartial y = 1x
Logo,
partial zpartial x = 11+(y/x)^2cdotl(-yx^2r) = -yx^2+y^2,
partial zpartial y = 11+(y/x)^2cdot1x = xx^2+y^2

Passo 4

Aplicamos agora a regra da cadeia para z=f(x,y):
dzdt = partial zpartial xdxdt + partial zpartial ydydt
Substituindo os valores:
dzdt = l(-yx^2+y^2r)1t + l(xx^2+y^2r)e^t
E lembrando que x=ln(t) e y=e^t:
dzdt = -e^tl(ln(t)r)^2 + e^2tcdot1t + ln(t)l(ln(t)r)^2 + e^2tcdot e^t

Passo 5

Por fim, para w=f(x,y,z) a regra da cadeia nos dá:
dwdt = wxdxdt + wydydt + wzdzdt
Basta então substituir dx/dt=1/t, dy/dt=e^t e o dz/dt que acabamos de achar.

Passo 6

Resumo das fórmulas finais:
  1. Derivada de z em relação a t:
  2. Derivada de w em relação a t:

Resposta

dzdt = -e^ttl((ln t)^2 + e^2tr) + e^tln t(ln t)^2 + e^2t = e^tl(ln t - 1/tr)(ln t)^2 + e^2t
dwdt = wx1t + wy,e^t + wz,e^tl(ln t - 1/tr)(ln t)^2 + e^2t

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