Lembre-se que o seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico são definidos, respectivamente, por sinh x=e^x-e^-x2 e cosh x=e^x+e^-x2. Determine a série de Taylor centrada em x=a de sinh x e cosh x
Usando a série de Taylor para e^x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a série de Taylor, centrada em , para a função . Vamos usar a série de Taylor para como base. Basicamente, vamos precisar lembrar das definições de seno hiperbólico ( ) e cosseno hiperbólico ( ), e como construir uma série de Taylor para uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as definições de sinh x = e^x - e^-x2 e cosh x = e^x + e^-x2 e :
Essas funções são importantes porque elas ajudam a simplificar expressões envolvendo exponenciais.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar sinh x cdot e cdot cosh x = ( e^x - e^-x2 ) cdot e cdot ( e^x + e^-x2 ) por :
Primeiro, vamos simplificar essa expressão passo a passo.

Passo 4

Multiplicando os termos:
= e cdot (e^x - e^-x)(e^x + e^-x)4
Usamos a propriedade distributiva para multiplicar os binômios.

Passo 5

Agora, aplicamos a identidade = e cdot e^2x - e^-2x4 :
Isso simplifica a expressão para algo mais fácil de trabalhar.

Passo 6

Vamos reescrever a expressão:
= e4 ( e^2x - e^-2x )
Agora, temos uma combinação de exponenciais que podemos expandir em série de Taylor.

Passo 7

Lembrando que a série de Taylor para e^k x = e^k a ( 1 + k (x - a) + (k (x - a))^22! + (k (x - a))^33! + cdots ) centrada em é:
Vamos aplicar isso para e .

Passo 8

Expandindo e^2x = e^2a ( 1 + 2(x - a) + (2(x - a))^22! + (2(x - a))^33! + cdots ) e e^-2x = e^-2a ( 1 - 2(x - a) + ( -2(x - a))^22! - ( -2(x - a))^33! + cdots ) na série de Taylor centrada em :

Passo 9

Subtraindo as duas séries:
e^2x - e^-2x = e^2a ( 1 + 2(x - a) + 4(x - a)^22 + 8(x - a)^36 + cdots ) - e^-2a ( 1 - 2(x - a) + 4(x - a)^22 - 8(x - a)^36 + cdots )

Passo 10

Simplificando a expressão:
e^2x - e^-2x = (e^2a - e^-2a) + (e^2a cdot 2 + e^-2a cdot 2)(x - a) + ( e^2a cdot 4 - e^-2a cdot 4 ) (x - a)^22! + cdots
Observamos que os termos ímpares se combinam de forma diferente dos pares.

Passo 11

Voltando à nossa expressão original:
sinh x cdot e cdot cosh x = e4 ( e^2x - e^-2x )
Substituímos a série que acabamos de encontrar:
= e4 [ (e^2a - e^-2a) + 4 e^2a (x - a) + cdots ]
Multiplicamos cada termo pela constante .

Passo 12

Finalmente, escrevemos a série de Taylor completa:
sinh x cdot e cdot cosh x = e4 ( e^2a - e^-2a ) + e4 cdot 4 e^2a (x - a) + cdots
Podemos continuar expandindo os termos conforme necessário para a precisão desejada.

Resposta

Então, a série de Taylor centrada em sinh x cdot e cdot cosh x = e4 ( e^2a - e^-2a ) + e cdot e^2a (x - a) + cdots para é:
Essa série continua com termos de ordem superior dependendo da precisão que você precisar.

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