Lembre-se que o seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico são definidos, respectivamente, por
e
. Determine a série de Taylor centrada em
de
Usando a série de Taylor para
.
Usando a série de Taylor para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a série de Taylor, centrada em
, para a função
. Vamos usar a série de Taylor para
como base. Basicamente, vamos precisar lembrar das definições de seno hiperbólico (
) e cosseno hiperbólico (
), e como construir uma série de Taylor para uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as definições de
e
:
Essas funções são importantes porque elas ajudam a simplificar expressões envolvendo exponenciais.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar
por
:
Primeiro, vamos simplificar essa expressão passo a passo.
Passo 4
Multiplicando os termos:
Usamos a propriedade distributiva para multiplicar os binômios.
Passo 5
Agora, aplicamos a identidade
:
Isso simplifica a expressão para algo mais fácil de trabalhar.
Passo 6
Vamos reescrever a expressão:
Agora, temos uma combinação de exponenciais que podemos expandir em série de Taylor.
Passo 7
Lembrando que a série de Taylor para
centrada em
é:
Vamos aplicar isso para
e
.
Passo 8
Expandindo
e
na série de Taylor centrada em
:
Passo 9
Subtraindo as duas séries:
Passo 10
Simplificando a expressão:
Observamos que os termos ímpares se combinam de forma diferente dos pares.
Passo 11
Voltando à nossa expressão original:
Substituímos a série que acabamos de encontrar:
Multiplicamos cada termo pela constante
.
Passo 12
Finalmente, escrevemos a série de Taylor completa:
Podemos continuar expandindo os termos conforme necessário para a precisão desejada.
Resposta
Então, a série de Taylor centrada em
para
é:
Essa série continua com termos de ordem superior dependendo da precisão que você precisar.