Exercs. 5-32: Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O exercício pede para determinar se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolve o teste de séries alternantes (teste de Leibniz) e o teste da integral para séries de termos positivos.
Passo 2
Para aplicar o teste de Leibniz, definimos
. Precisamos checar que
, que
e que
é decrescente para
suficientemente grande. Claramente
para
. Além disso,
Passo 3
e, para ver a monotonicidade, consideramos a função
. Calculando a derivada,
Passo 4
que é negativa para
, ou seja,
é decrescente a partir de
. Portanto, todas as condições do teste de Leibniz são satisfeitas e a série alternante converge.
Passo 5
Agora, para verificar a convergência absoluta, analisamos
Passo 6
Aplicando o teste da integral, consideramos
Passo 7
Fazendo a substituição ou reconhecendo que
Passo 8
temos
logo a série de termos positivos diverge e, portanto, não há convergência absoluta.
Resposta
A série converge condicionalmente.