Exercs. 5-32: Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n ln nn

Passo 1

O exercício pede para determinar se a série sumn=1^infty(-1)^nln nn é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolve o teste de séries alternantes (teste de Leibniz) e o teste da integral para séries de termos positivos.

Passo 2

Para aplicar o teste de Leibniz, definimos an=ln nn. Precisamos checar que an>0, que limntoinftyan=0 e que an é decrescente para n suficientemente grande. Claramente an>0 para n>=1. Além disso,
limntoinftyln nn=0,

Passo 3

e, para ver a monotonicidade, consideramos a função f(x)=ln xx. Calculando a derivada,
f'(x)=1-ln xx^2,

Passo 4

que é negativa para x>e, ou seja, an é decrescente a partir de n=3. Portanto, todas as condições do teste de Leibniz são satisfeitas e a série alternante converge.

Passo 5

Agora, para verificar a convergência absoluta, analisamos
sumn=1^infty|(-1)^nln nn|=sumn=1^inftyln nn

Passo 6

Aplicando o teste da integral, consideramos
integral2^inftyln xx,dx

Passo 7

Fazendo a substituição ou reconhecendo que
integralln xx,dx=tfrac12(ln x)^2,

Passo 8

temos
integral2^inftyln xx,dx=limttoinfty(ln t)^22-(ln 2)^22=infty,
logo a série de termos positivos diverge e, portanto, não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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