Exercs. 5-32: Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(n-1)^n-1 1raiz2 n+1

Passo 1

Resumindo, a série é
$$
\sum_{n=1}{\infty}(n-1){n-1}\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$$
vamos determinar se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Para isso, vamos usar primeiro o teste do termo geral e depois o teste da raiz.

Passo 2

Seja an = (n-1)^n-1/raiz2n+1. Um requisito para convergência de qualquer série é limntoinftyan = 0. Note que o numerador (n-1)^n-1 cresce superexponencialmente enquanto o denominador cresce apenas polinomialmente. Logo,
limntoinftyan = limntoinfty(n-1)^n-1raiz2n+1 = infty ne 0
Logo o termo geral não tende a zero e a série diverge imediatamente.

Passo 3

Para reforçar, aplicamos o teste da raiz: calculamos
L = limntoinftyraiz[n]an = limntoinfty(n-1)^(n-1)/n(2n+1)^1/(2n)
Como
(n-1)^(n-1)/n = expl(n-1nln(n-1)r)sim exp(ln n) = n
e (2n+1)^1/(2n)to1, temos L = +infty >1, confirmando divergência.

Passo 4

Concluindo, a série não é absolutamente nem condicionalmente convergente: ela é divergente.

Resposta

A série é divergente.

Exercícios relacionados