Exercs. 5-32: Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Resumindo, a série é
$$
\sum_{n=1}{\infty}(n-1){n-1}\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$$
vamos determinar se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Para isso, vamos usar primeiro o teste do termo geral e depois o teste da raiz.
vamos determinar se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Para isso, vamos usar primeiro o teste do termo geral e depois o teste da raiz.
Passo 2
Seja
. Um requisito para convergência de qualquer série é
. Note que o numerador
cresce superexponencialmente enquanto o denominador cresce apenas polinomialmente. Logo,
Logo o termo geral não tende a zero e a série diverge imediatamente.
Passo 3
Para reforçar, aplicamos o teste da raiz: calculamos
Como
e
, temos
, confirmando divergência.
Passo 4
Concluindo, a série não é absolutamente nem condicionalmente convergente: ela é divergente.
Resposta
A série é divergente.