Exercs. 5-32: Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty sen raiznraizn^3+4

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência da série sumn=1^infty sinraiznraizn^3+4. O conteúdo principal é testes de convergência de séries numéricas, em especial convergência absoluta e teste de comparação com p-série. Vamos usar a desigualdade |sin x|<=1 e o fato de que sum1/n^p converge se p>1.

Passo 2

Para testar convergência absoluta, analisamos a série dos valores absolutos:
sumn=1^inftyl|sinraiznr|raizn^3+4
Como |sinraizn|<=1, temos
|sinraizn|raizn^3+4<=1raizn^3+4
E como n^3+4>n^3, segue
1raizn^3+4<1raizn^3=1n^3/2

Passo 3

A série sumn=1^infty1/n^3/2 é uma p-série com p=3/2>1, logo converge. Pelo teste de comparação, a série de valores absolutos também converge. Portanto a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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