Indique o tipo de indeterminação ( 0 / 0 ou infty / infty ) e utilize a Regra de LHôpital para calcular os seguintes limites:
lim x +infty ln ^3(x)x;

Passo 1

Temos que calcular limxto+inftyln^3(x)x. O conteúdo é limites de quocientes e vamos usar a Regra de L’Hôpital sempre que surgirem indeterminações do tipo 0/0 ou infty/infty.

Passo 2

Ao avaliar diretamente em xto+infty, vemos que ln^3(x)to+infty e xto+infty, caracterizando a forma indeterminada infty/infty. Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
[ ddxl(ln^3(x)r)=3ln^2(x)cdot1x=3ln^2(x)x,ddx(x)=1 ]
Logo o limite passa a ser
[ limxto+infty3ln^2(x)x ]

Passo 3

No novo limite ainda há indeterminação infty/infty, pois ln^2(x)toinfty e xtoinfty. Aplicamos L’Hôpital pela segunda vez. Derivando:
[ ddxl(3ln^2(x)xr)=3l(2ln(x)cdot1xcdot x^-1+ln^2(x)cdot(-1)x^-2r)=3l(2ln(x)-ln^2(x)r)x^2,ddx(x)=1 ]
Então o limite é
[ limxto+infty3l(2ln(x)-ln^2(x)r)x^2 ]

Passo 4

Para concluir, observe que conforme xtoinfty o numerador cresce em módulo como -3ln^2(x) e o denominador como x^2. Sabemos que polinômios de grau 2 dominam logaritmos ao quadrado, então essa razão tende a 0. Para confirmar via L’Hôpital uma terceira vez, derivamos o numerador 6ln(x)-3ln^2(x) obtendo 6/x-6ln(x)/x=6(1-ln(x))/x e o denominador x^2 em 2x, o que leva a
[ limxto+infty6(1-ln(x))x2x=limxto+infty3l(1-ln(x)r)x^2=0 ]
Portanto, o limite original é 0.

Resposta

0

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