Indique o tipo de indeterminação (
ou
) e utilize a Regra de LHôpital para calcular os seguintes limites:
;
Passo 1
Temos que calcular
. O conteúdo é limites de quocientes e vamos usar a Regra de L’Hôpital sempre que surgirem indeterminações do tipo 0/0 ou
.
Passo 2
Ao avaliar diretamente em
, vemos que
e
, caracterizando a forma indeterminada
. Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
[
]
Logo o limite passa a ser
[
]
Passo 3
No novo limite ainda há indeterminação
, pois
e
. Aplicamos L’Hôpital pela segunda vez. Derivando:
[
]
Então o limite é
[
]
Passo 4
Para concluir, observe que conforme
o numerador cresce em módulo como
e o denominador como
. Sabemos que polinômios de grau 2 dominam logaritmos ao quadrado, então essa razão tende a 0. Para confirmar via L’Hôpital uma terceira vez, derivamos o numerador
obtendo
e o denominador
em
, o que leva a
[
]
Portanto, o limite original é 0.
Resposta
0