Exercs. 1-4: (a) Desenvolva
em série de potências. (b) Use o Teorema (11.40) para representar
e
em série de potências.
Passo 1
A questão pede para desenvolver em série de potências a função
no intervalo de convergência
e, em seguida, usar o Teorema 11.40 (diferenciação e integração termo a termo) para obter as séries de
e de
. Vamos lembrar da série geométrica e aplicar o teorema passo a passo.
Passo 2
Para expandir
, usamos a série geométrica clássica
para
. Aqui tomamos
, logo
Passo 3
Essa série converge quando
, ou seja,
, conforme o enunciado.
Passo 4
Pelo Teorema 11.40, podemos diferenciar termo a termo dentro do raio de convergência. Derivando
em relação a
obtemos
Passo 5
Opcionalmente, reindexamos com
para escrever em potências de
:
Passo 6
Usando o mesmo teorema para integrar termo a termo de 0 a
, temos
Resposta
Para
: