Exercs. 1-4: (a) Desenvolva f(x) em série de potências. (b) Use o Teorema (11.40) para representar f^prime(x) e integral0^x f(t) d t em série de potências.
f(x)=11+5 x,|x|<15

Passo 1

A questão pede para desenvolver em série de potências a função f(x)=11+5x no intervalo de convergência |x| e, em seguida, usar o Teorema 11.40 (diferenciação e integração termo a termo) para obter as séries de f'(x) e de integral0^x f(t),dt. Vamos lembrar da série geométrica e aplicar o teorema passo a passo.

Passo 2

Para expandir f(x), usamos a série geométrica clássica 1/(1-u)=sumn=0^infty u^n para |u|<1. Aqui tomamos u=-5x, logo
f(x)=11+5x=sumn=0^infty(-5x)^n=sumn=0^infty(-1)^n5^n x^n,

Passo 3

Essa série converge quando |u|=|5x|<1, ou seja, |x|, conforme o enunciado.

Passo 4

Pelo Teorema 11.40, podemos diferenciar termo a termo dentro do raio de convergência. Derivando sumn=0^infty(-1)^n5^n x^n em relação a x obtemos
f'(x)=sumn=1^infty n(-1)^n5^n x^n-1

Passo 5

Opcionalmente, reindexamos com k=n-1 para escrever em potências de x^k:
f'(x)=sumk=0^infty(k+1)(-1)^k+15^k+1x^k

Passo 6

Usando o mesmo teorema para integrar termo a termo de 0 a x, temos
integral0^x f(t),dt=sumn=0^infty(-1)^n5^nintegral0^x t^n,dt =sumn=0^infty(-1)^n5^nx^n+1n+1

Resposta

Para |x|:
f(x)=sumn=0^infty(-1)^n5^n x^n,
f'(x)=sumn=1^infty n(-1)^n5^n x^n-1 = sumk=0^infty(k+1)(-1)^k+15^k+1x^k,
integral0^x f(t),dt=sumn=0^infty(-1)^n5^nx^n+1n+1

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