Exercs. 1-4: (a) Desenvolva f(x) em série de potências. (b) Use o Teorema (11.40) para representar f^prime(x) e integral0^x f(t) d t em série de potências.
f(x)=13-2 x,|x|<32

Passo 1

O enunciado pede para (a) escrever f(x)=1/(3−2x) em série de potências válida para |x|<3/2, e (b) usar o Teorema 11.40 (diferenciação e integração termo a termo) para obter séries de f′(x) e ∫₀ˣ f(t)dt.

Passo 2

Primeiro, vamos pôr f(x) numa forma de série geométrica. Note que podemos escrever
f(x)=13-2x=13cdot11-2x3

Passo 3

Como a série geométrica diz que para |u|<1 temos
11-u=sumn=0^inftyu^n,
basta escolher u=2x/3. Então
f(x)=13sumn=0^inftyl(2x3r)^n =sumn=0^infty2^n3^n+1,x^n

Passo 4

Agora, pelo Teorema 11.40 podemos derivar termo a termo. Se
f(x)=sumn=0^inftyanx^ncom an=2^n3^n+1,
então
f'(x)=sumn=1^inftyn,an,x^n-1 =sumn=1^inftyn2^n3^n+1,x^n-1
Podemos reindexar colocando m=n−1:
f'(x)=summ=0^infty(m+1)2^m+13^m+2,x^m

Passo 5

De modo similar, a integração termo a termo de 0 até x fornece
integral0^xf(t),dt=integral0^xsumn=0^inftyan t^n,dt =sumn=0^inftyanx^n+1n+1 =sumn=0^infty2^n3^n+1x^n+1n+1
Reindexando k=n+1:
integral0^xf(t),dt=sumk=1^infty2^k-1k,3^k,x^k

Resposta

(a) f(x)=sumn=0^infty2^n3^n+1,x^n,|x|
(b) $$f’(x)=\sum_{n=1}{\infty}n\frac{2n}{3{n+1}},x{n-1} = \sum_{m=0}{\infty}(m+1)\frac{2{m+1}}{3{m+2}},xm,\quad|x|<\tfrac32,
$$
f'(x)=sumn=1^inftyn2^n3^n+1,x^n-1 = summ=0^infty(m+1)2^m+13^m+2,x^m,|x|

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