Exercs. 1-4: (a) Desenvolva
em série de potências. (b) Use o Teorema (11.40) para representar
e
em série de potências.
Passo 1
O enunciado pede para (a) escrever f(x)=1/(3−2x) em série de potências válida para |x|<3/2, e (b) usar o Teorema 11.40 (diferenciação e integração termo a termo) para obter séries de f′(x) e ∫₀ˣ f(t)dt.
Passo 2
Primeiro, vamos pôr f(x) numa forma de série geométrica. Note que podemos escrever
Passo 3
Como a série geométrica diz que para |u|<1 temos
basta escolher u=2x/3. Então
Passo 4
Agora, pelo Teorema 11.40 podemos derivar termo a termo. Se
então
Podemos reindexar colocando m=n−1:
Passo 5
De modo similar, a integração termo a termo de 0 até x fornece
Reindexando k=n+1:
Resposta
(a)
(b) $$f’(x)=\sum_{n=1}{\infty}n\frac{2n}{3{n+1}},x{n-1} = \sum_{m=0}{\infty}(m+1)\frac{2{m+1}}{3{m+2}},xm,\quad|x|<\tfrac32,
$$