Exercs. 1-4: Determine se a série (a) verifica as condições (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
sum-1^infty(-1)^n-1 1n^2+7

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série alternada sumn=1^infty(-1)^n-11n^2+7, usando o teste de Leibniz (séries alternadas). Vamos precisar identificar o termo geral positivo bn=1n^2+7, verificar que ele é decrescente e que tende a zero.

Passo 2

Para a condição (i) do teste de Leibniz, note que podemos escrever an = (-1)^n-1bn com bn=1n^2+7>0 O fator (-1)^n-1 garante a alternância de sinais dos termos.

Passo 3

Para a condição (ii), primeiro mostramos que bn é decrescente. Considere a função f(x)=1x^2+7 Calculando a derivada temos f'(x)=-2x(x^2+7)^2<0para x>0, logo f é decrescente e, em particular, bn+1<= bn. Em seguida, calculemos o limite: limntoinftybn=limntoinfty1n^2+7=0

Passo 4

Como ambas as condições do teste de Leibniz estão satisfeitas ( bn>0, decrescente e lim bn=0), concluímos que a série alternada converge.

Resposta

A série converge pelo teste de Leibniz.

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