Exercs. 1-4: Determine se a série (a) verifica as condições (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a série alternada
, usando o teste de Leibniz (séries alternadas). Vamos precisar identificar o termo geral positivo
, verificar que ele é decrescente e que tende a zero.
Passo 2
Para a condição (i) do teste de Leibniz, note que podemos escrever
com
O fator
garante a alternância de sinais dos termos.
Passo 3
Para a condição (ii), primeiro mostramos que
é decrescente. Considere a função
Calculando a derivada temos
logo
é decrescente e, em particular,
. Em seguida, calculemos o limite:
Passo 4
Como ambas as condições do teste de Leibniz estão satisfeitas (
, decrescente e
), concluímos que a série alternada converge.
Resposta
A série converge pelo teste de Leibniz.