Resolva o seguinte PVI :
x y y^prime+4 x^2+y^2=0, y(2)=-7, x>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema passo a passo! A gente tem uma equação diferencial que envolve derivadas e funções de x y dydx + 4x^2 + y^2 = 0, y(2) = -7, x > 0 em relação a . O enunciado é:
Vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais, especificamente substituições que simplifiquem a equação para podermos resolver. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para isolar a derivada x y dydx + 4x^2 + y^2 = 0 . Começamos com:
x y dydx = -4x^2 - y^2
Subtraindo dydx = -4x^2 - y^2x y de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por para isolar :

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos assumir que dydx = v + x dvdx . Isso significa que . Diferenciando ambos os lados em relação a :
Vamos substituir e na equação original.

Passo 4

Substituindo na equação:
v + x dvdx = -4x^2 - (v x)^2x (v x) = -4x^2 - v^2 x^2x^2 v = -4 - v^2v
Multiplicando ambos os lados por x dvdx = -4 - v^2v - v :
x dvdx = -4 - v^2 - v^2v = -4 - 2v^2v = -4 + 2v^2v
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Vamos reescrever a equação para facilitar a solução:
dvdx = -4 + 2v^2x v
Essa é uma equação diferencial separável. Podemos separar as variáveis v dv4 + 2v^2 = -dxx e :

Passo 6

Integrando ambos os lados:
integral v4 + 2v^2 dv = -integral 1x dx
Simplificando as integrais:
No lado esquerdo, fazemos uma substituição integral v4 + 2v^2 dv = 14 ln|4 + 2v^2| , então -integral 1x dx = -ln|x| + C . Portanto:
14 ln|4 + 2v^2| = -ln|x| + C
No lado direito:
Então, temos:

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por 4 para simplificar:
ln|4 + 2v^2| = -4 ln|x| + C'
Onde ln|4 + 2v^2| = ln|x^-4| + C' .
Podemos reescrever isso como:
4 + 2v^2 = K x^-4
Exponenciando ambos os lados para eliminar os logaritmos:
Onde é uma constante.

Passo 8

Vamos resolver para 2v^2 = K x^-4 - 4 :
v^2 = K2 x^-4 - 2
( yx )^2 = K2 x^-4 - 2
Lembrando que y^2 = ( K2 x^-4 - 2 ) x^2 = K2 x^-2 - 2x^2 , então:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Resolvendo para y = pm raiz K2 x^-2 - 2x^2 :
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar a constante .

Passo 10

Substituindo -7 = pm raiz K2 (2)^-2 - 2(2)^2 = pm raiz K2 cdot 14 - 8 e -7 = - raiz K8 - 8 na equação:
7 = raiz K8 - 8
Como 49 = K8 - 8 , escolhemos o sinal negativo:
57 = K8
Removendo o sinal negativo:
K = 456
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Somando 8 de ambos os lados:
Multiplicando por 8:

Passo 11

Agora, substituímos y = - raiz 4562 x^-2 - 2x^2 = - raiz 228 x^-2 - 2x^2 de volta na equação de y = - raiz 228x^2 - 2x^2 :
Simplificando:

Resposta

A solução do PVI é:
y(x) = - raiz dfrac228x^2 - 2x^2

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