Resolva o seguinte PVI :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema passo a passo! A gente tem uma equação diferencial que envolve derivadas e funções de
em relação a
. O enunciado é:
Vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais, especificamente substituições que simplifiquem a equação para podermos resolver. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para isolar a derivada
. Começamos com:
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos assumir que
. Isso significa que
. Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Vamos substituir
e
na equação original.
Passo 4
Substituindo na equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Vamos reescrever a equação para facilitar a solução:
Essa é uma equação diferencial separável. Podemos separar as variáveis
e
:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Simplificando as integrais:
No lado esquerdo, fazemos uma substituição
, então
. Portanto:
No lado direito:
Então, temos:
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por 4 para simplificar:
Onde
.
Podemos reescrever isso como:
Exponenciando ambos os lados para eliminar os logaritmos:
Onde
é uma constante.
Passo 8
Vamos resolver para
:
Lembrando que
, então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Resolvendo para
:
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar a constante
.
Passo 10
Substituindo
e
na equação:
Como
, escolhemos o sinal negativo:
Removendo o sinal negativo:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Somando 8 de ambos os lados:
Multiplicando por 8:
Passo 11
Agora, substituímos
de volta na equação de
:
Simplificando:
Resposta
A solução do PVI é: