Resolva o seguinte PVI:
d yd t=e^y-t sec (y)(1+t^2), y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI dydt=e^y-tsec(y)(1+t^2),;y(0)=0. O conteúdo é equação diferencial de variáveis separáveis e usaremos também técnicas de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, separamos as variáveis. Escrevemos
dye^ysec(y)=e^-t(1+t^2),dt
Como 1/sec(y)=cos(y), a integral do lado esquerdo fica
integral e^-ycos(y),dy,
e do lado direito
integral (1+t^2)e^-t,dt

Passo 3

Agora, calculamos cada integral. Usando a fórmula integral e^axcos(bx)dx=e^axa^2+b^2(acos(bx)+bsin(bx)) com a=-1, b=1, obtemos
integral e^-ycos(y),dy=e^-y2(sin(y)-cos(y))+C1

Passo 4

Para o lado direito, aplicamos integração por partes em integral e^-tdt e em integral t^2e^-tdt, resultando em
integral(1+t^2)e^-tdt=-(t^2+2t+3)e^-t+C2

Passo 5

Igualando as duas primitivadas e agrupando as constantes em C, temos
e^-y2(sin y-cos y)=-(t^2+2t+3)e^-t+C

Passo 6

Multiplicando por 2 e aplicando y(0)=0, calculamos C=5.

Resposta

e^-y(sin y-cos y)=-2(t^2+2t+3)e^-t+5

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