Calcule a integral.
integral -19 x^2+50 x-25x^2(3 x-5) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a seguinte integral:
integral -19 x^2+50 x-25x^2(3 x-5) , dx
Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente de integrais racionais. Para resolver, vamos precisar usar a frações parciais, que é uma técnica para simplificar frações complexas em partes mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração -19 x^2+50 x-25x^2(3 x-5) = Ax + Bx^2 + C3x - 5 em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a soma de termos mais simples.
Como o denominador é , que tem fatores lineares e quadráticos, podemos propor a seguinte decomposição:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum -19x^2 + 50x - 25 = A x (3x - 5) + B (3x - 5) + C x^2 para eliminar as frações:
-19x^2 + 50x - 25 = A (3x^2 - 5x) + B (3x - 5) + C x^2
Vamos expandir os termos à direita:
-19x^2 + 50x - 25 = 3A x^2 - 5A x + 3B x - 5B + C x^2
Distribuindo os coeficientes:
-19x^2 + 50x - 25 = (3A + C) x^2 + (-5A + 3B) x - 5B
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:

Passo 4

Para encontrar os valores de 3A + C = -19 , -5A + 3B = 50 e -5B = -25 , igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para o termo constante:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo.
Primeiro, da terceira equação:
-5B = -25 implies B = -25-5 = 5
Agora que sabemos que -5A + 3(5) = 50 implies -5A + 15 = 50 , podemos substituir na segunda equação:
-5A = 50 - 15 implies -5A = 35 implies A = 35-5 = -7
3(-7) + C = -19 implies -21 + C = -19 implies C = -19 + 21 = 2
Por fim, substituímos A = -7, B = 5, C = 2 na primeira equação para encontrar :
Então, temos:

Passo 6

Agora que encontramos os valores de -19 x^2+50 x-25x^2(3 x-5) = -7x + 5x^2 + 23x - 5 , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Passo 7

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
integral ( -7x + 5x^2 + 23x - 5 ) dx
Vamos integrar termo a termo:
  1. Para integral -7x , dx = -7 ln |x| :
integral 5x^2 , dx = 5 integral x^-2 , dx = 5 ( -x^-1 ) = -5x
  1. Para integral 23x - 5 , dx = 2 integral 1u cdot du3 = 23 ln |u| = 23 ln |3x - 5| :
  1. Para :
    Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então , ou .

Passo 8

Juntando todas as integrais, temos:
-7 ln |x| - 5x + 23 ln |3x - 5| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral vale:
-7 ln |x| - 5x + 23 ln |3x - 5| + C

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