Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a seguinte integral:
Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente de integrais racionais. Para resolver, vamos precisar usar a frações parciais, que é uma técnica para simplificar frações complexas em partes mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a soma de termos mais simples.
Como o denominador é
, que tem fatores lineares e quadráticos, podemos propor a seguinte decomposição:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Vamos expandir os termos à direita:
Distribuindo os coeficientes:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 4
Para encontrar os valores de
,
e
, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Para
:
- Para
:
- Para o termo constante:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações passo a passo.
Primeiro, da terceira equação:
Agora que sabemos que
, podemos substituir na segunda equação:
Por fim, substituímos
na primeira equação para encontrar
:
Então, temos:
Passo 6
Agora que encontramos os valores de
,
e
, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Passo 7
Vamos agora integrar cada termo separadamente:
Vamos integrar termo a termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja, então , ou .
Passo 8
Juntando todas as integrais, temos:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral vale: