Para y neq 0, efetuamos a mudança de variável:
v=y^1-4 / 3=y^-1 / 3 e d vd x=-13 y^-4 / 3 d yd x
Multiplicando a equação por -13 x y^-4 / 3 e substituindo d yd x, encontramos a EDO linear
d vd x-2x v=-1
Resolvendo esta equação, o fator integrante é
mu(x)=exp integral-2x d x=e^-2 ln |x|=x^-2
Multiplicando ambos os lados da EDO linear por mu(x) obtemos
x^-2 d vd x-2 x^-3 v=-x^-2 Longrightarrow dd x(x^-2 v)=-x^-2
Integrando com relação a x resulta
x^-2 v=x^-1+c Longrightarrow v=x+c x^2
onde c é uma constante. Esta é a solução geral da EDO linear acima.
Usando v=y^-1 / 3, a solução não nula do problema é dada por:
y^-1 / 3=x+c x^2 ou y=1(x+c x^2)^3

Passo 1

O problema é resolver a EDO de Bernoulli com expoente n=4/3 e coeficientes em função de x. Precisamos usar a mudança de variável v=y^1-n=y^-1/3 e a fórmula dada para dv/dx.

Passo 2

Começamos multiplicando a EDO original por -tfrac13xy^-4/3 e substituindo tfracdydx em termos de dv/dx. Isso transforma a equação de Bernoulli em uma equação linear em v:
dvdx-2xv=-1

Passo 3

Identificamos o fator integrante da equação linear. Calculamos
mu(x)=expgl(integral -tfrac2x,dxgr)=e^-2ln|x|=x^-2

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação linear por mu(x)=x^-2, obtendo
x^-2dvdx-2x^-3v=-x^-2
que é exatamente a derivada do produto x^-2v:
ddx(x^-2v)=-x^-2

Passo 5

Agora integramos em relação a x:
integral ddx(x^-2v),dx=integral -x^-2,dx
o que dá
x^-2v=x^-1+C
e, isolando v:
v=x+Cx^2,

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável y usando v=y^-1/3. Logo
y^-1/3=x+Cx^2
e, elevando ambos os lados ao cubo e invertendo,
y=1(x+Cx^2)^3

Resposta

A solução geral não nula da EDO é y=1/(x+Cx^2)^3, onde C é constante de integração.

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