Imagine uma população em um ambiente onde há uma taxa de crescimento proporcional ao número atual de indivíduos, mas também uma taxa de mortalidade que depende do quadrado da população (para capturar efeitos de competição). Esse comportamento pode ser descrito por uma equação da forma:
onde:
: é o número de indivíduos na população no tempo
,
: é a taxa de crescimento (natalidade) da população
: é um coeficiente que representa a taxa de mortalidade que aumenta com a populaçãa.
Se a taxa de crescimento da população for 0,3 e a taxa de mortalidade 0.01 , resolva o problema e analise na medida que o tempo avança.
Se a taxa de crescimento da população for 0,3 e a taxa de mortalidade 0.01 , resolva o problema e analise na medida que o tempo avança.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial
com
e
. Esse tipo de equação é conhecida como equação logística, que modela crescimento limitado por competição interna. Para resolver, usaremos o método de separação de variáveis e integração por frações parciais.
Passo 2
Separamos as variáveis reescrevendo a equação de modo que todos os termos em
fiquem de um lado e
do outro:
Passo 3
Para integrar o lado esquerdo, fazemos a decomposição em frações parciais:
Isso decorre de resolver
e encontrar
,
.
Passo 4
Integrando ambos os lados, temos
que resulta em
Passo 5
Reorganizando e exponenciando a expressão anterior, obtemos a solução geral
onde
é uma constante determinada pela condição inicial.
Passo 6
Impondo
, encontramos
de modo que a solução fica
que também pode ser escrita como
onde a capacidade de carga é
.
Passo 7
Analisando o comportamento quando
: o termo
, logo
. Isso mostra que a população converge para o valor de equilíbrio 30; os pontos de equilíbrio são
(instável) e
(estável).
Resposta
A solução geral com condição inicial
é
ou, de forma equivalente,
À medida que
, tem-se
, indicando que a população tende ao valor de equilíbrio 30.