Nos Exers. 16 a 25 ache as soluçöes dos problemas com valor iniciul cados.
4 y^prime prime-12 y^prime+9 y=0 ; y(0)=1, y^prime(0)=72.

Passo 1

Temos a equação diferencial 4y'' - 12y' + 9y = 0 com as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = tfrac72. Trata-se de uma equação homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, então vamos usar a equação característica.

Passo 2

A equação característica associada é 4r^2 - 12r + 9 = 0. Calculando o discriminante temos De, ou seja, há uma raiz dupla.

Passo 3

Como a única raiz é r = tfrac128 = tfrac32 de multiplicidade 2, a solução geral da equação é dada por:
y(x) = (C1 + C2 x)e^tfrac32x

Passo 4

Aplicando y(0)=1 na solução geral obtemos C1 + C2cdot0 = 1, logo C1 = 1.

Passo 5

Para determinar C2, derivamos y:
y'(x) = C2 e^tfrac32x + (C1 + C2 x)cdottfrac32e^tfrac32x = e^tfrac32xl(C2 + tfrac32(C1 + C2 x)r)

Passo 6

Avaliando em x=0 e impondo y'(0)=tfrac72 C2 + tfrac32C1 = tfrac72. Como C1=1, segue C2 + tfrac32 = tfrac72, daí C2 = 2.

Passo 7

Substituindo C1=1 e C2=2 na solução geral, concluímos a solução particular.

Resposta

y(x) = (1 + 2x)e^tfrac32x

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