Exiba uma base para cada um dos subespaços de R^4 abaixo:
S=(x1, x2, x3, x4) mid x1=x2=x3

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço
S = (x1,x2,x3,x4)inR^4mid x1=x2=x3
O conteúdo aqui é obter uma parametrização do subespaço e, a partir dela, extrair vetores que geram S de forma linearmente independente.

Passo 2

Como x1=x2=x3, chame esse valor comum de t. O quarto componente x4 é livre, chame-o de s. Logo qualquer vetor de S tem a forma
(x1,x2,x3,x4)=(t,t,t,s),
com t,sinR.

Passo 3

Separe a combinação linear em função de t e s:
(t,t,t,s) = t,(1,1,1,0) ;+; s,(0,0,0,1)
Isso mostra que (1,1,1,0) e (0,0,0,1) geram S.

Passo 4

Verifique que (1,1,1,0) e (0,0,0,1) são linearmente independentes, pois não há escalares a,b não triviais tais que
a,(1,1,1,0)+b,(0,0,0,1)=(0,0,0,0)
a não ser a=b=0.

Resposta

Uma base de S é
(1,1,1,0),,(0,0,0,1)

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